Wir studieren eine reelle probabilistische Schnitttheorie in kompakten homogenen Räumen M. Die Beispiele von primärem Interesse sind die reellen Grassmann-Mannigfaltigkeiten. Der Schnitt von zufällig bewegten Untermannigfaltigkeiten von M wird durch eine Multiplikation von gewissen konvexen Körpern beschrieben, die wir Grassmann Zonoide nennen. Diese leben in der äußeren Potenz eines Euklidischen Vektorraumes V, der als Cotangentialraum von M gewählt wird. Alternativ können diese Zonoide als positive Masse auf den Grassmann-Mannigfaltigkeiten von V interpretiert werden. (Diese sollten invariant unter the Wirkung der Isotropiegruppe sein.) Es gibt enge Verbindungen zur Theorie der Bewertungen. Ein Ziel des Projekts ist es, eine Verallgemeinerung der Alexandrov-Fenchel Ungleichung für Grassmann Zonoide höherer Ordnung zu beweisen. Dies würde implizieren, dass gewisse erwartete reelle Schnittzahlen als Koeffizienten von Lorentzschen Polynomen auftreten und deshalb logkonkave Folgen bilden. In derselben Stoßrichtung wollen wir zeigen, dass die Grassmann Zonoid Algebra ein homomorphes Bild hat, welches die Eigenschaften eines Kähler Pakets erfüllt. Ein weiteres Ziel ist es, die Grassmann Zonoid Algebra mit den Hilfsmitteln der harmonischen Analyse und Darstellungstheorie zu untersuchen. Insbesondere möchten wir die Volumina der Schubert Zonoide berechnen und deren Multiplikation verstehen.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
Internationaler Bezug
Italien
