Project Details
Projekt
Asymptotik Stochastischer Modelle und Spektraler Verteilungen
Applicant
Professor Dr. Friedrich Götze
Subject Area
Mathematics
Term
from 2000 to 2007
Project identifier
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5467294
Verteilung von Funktionalen (wie z.B. Spektren) komplexer Systeme in einem zufällig fixierten Medium wie beispielsweise interagiende Teilchenprozesse in der Stochastik oder dynamische Systeme (in einer 'generisch' oder zufällig gewählten Geometrie) konvergieren mit wachsender Zahl der Einflußgrößen bzw. wachsendem Phasenraumvolumen gegen universelle Grenzverteilungen, die von der speziellen Wahl des zufälligen Mediums unabhängig sind. Solche 'zufälligen' Umgebungen werden zum Beispiel auch durch Wahl von irrationalen bzw. diophantisch gewählten Koeffizienten von Polynomen erzeugt, deren Werte auf großen Gitterbereichen dann asymptotisch lokal gleichmäßig verteilt sind. Diese Asymptotik ist aus der analytischen Zahlentheorie fundamental für die Approximation in klassischen Grenzwertsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie, aber auch für asymptotische Spektralverteilungen in speziellen dynamischen Systemen.Langfristiges Ziel ist es, diese Beziehungen zwischen universalen Grenzwertsätzen der Wahrscheinlichkeitstheorie stochastischer Prozesse, der spektralen Analysis dynamischer Systeme und der analytischen Zahlentheorie für wichtige Modelle 'zufälliger' Medien zu untersuchen. An diesen Schnittstellen unterschiedlicher Gebiete ermutigen die bisherigen Erfolge mit einem Methodentransfer von der Wahrscheinlichkeitstheorie zur analytischen Zahlentheorie dazu, die Verbindungen zwischen Stochastik, der Spektraltheorie dynamischer Systeme und der analytischen Zahlentheorie auszubauen. Die in den letzten Jahren erfolgreich eingesetzten Methoden zur optimalen Veteilungsapproximation quadratischer Formen sollen mit Hilfe von Abschätzungen von Thetasummen durch Größen aus der Geometrie der Zahlen auf quadratischen Formen ab Dimension fünf ausgedehnt werden. Ziel ist es, die von Davenport und Lewis im positiv definiten Fall vermutete lokale Gleichverteilung der Werte im Unendlichen zu zeigen, sowie effektive Schranken für die lokale Gleichverteilung im indefiniten Fall (quantitative Oppenheim-Vermutung) zu gewinnen. Aufbauend darauf wird man auch optimale Konvergenzraten im zentralen Grenzwertsatz für Ellipsoide in diesen Dimensionen zeigen können.Für die Approximation der Gitterpunktanzahlen von Orbiten von affinen kristallografischen Gruppen in Kugeln von euklidischen und nichteuklidischen Räumen besteht die Hoffnung, vergleichbare analytische Methoden für die Analyse von Anfangswertproblemen der Wellengleichung bzw. für die Spektralverteilung des Laplace Operators entwickeln zu können.Die hier eingesetzten Techniken sollen auch für andere spektrale Modelle weiterentwickelt werden wie z.b. für die Bestimmung der Konvergenzgeschwindigkeit in globalen und der Konvergenz in lokalen Spektral-Asymptotiken im Wigner-Ensemble zufälliger Matrizen.Neben diesen analytischen Methoden werden zur Untersuchung der Gleichverteilung der Werte quadratischer Formen mod 1 auf Gittern in Abhängigkeit von den Koeffizienten auch Ergodensätze für quasi-geodätische Flüsse auf Überlagungen der zugehörigen homogenen Räume eingesetzt werden.Der Einfluß zufälliger Umgebungen auf Grenzverteilungen wird ferner in exemplarischen stochastischen Modellen, wie dem Fluktuationsverhalten von kombinatorischen Extremalstatistiken, sowie der freien Energie von Hopefield Netzwerken, SK-Modellen und Filterproblemen im Zusammenhang mit interagierenden Teilchenprozessen, das Hauptforschungsziel sein.
DFG Programme
Research Units
