Project Details
Projekt
Dynamik und Geometrie linearer algebraischer Gruppen
Applicant
Professor Dr. Herbert Abels
Subject Area
Mathematics
Term
from 2000 to 2007
Project identifier
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5467294
In diesem Teilprojekt sollen vor allem geometrische und dynamische Eigenschaften von linearen algebraischen Gruppen und ihren Untergruppen untersucht werden. Beim Studium der Dynamik solcher Gruppen spielt der Begriff der Proximalität eine zentrale Rolle. Eine lineare Abbildung heißt proximal, wenn sie einen Eigenwert von maximalem Betrag hat und dieser Eigenwert die algebraische und geometrische Vielfachheit eins hat. Die Dynamik einer solchen Transformation ist sehr einfach und durchsichtig und deshalb leicht zu überblicken. Von Interesse sind proximale lineare Abbildungen, weil sie in verschiedenen Zusammenhängen auftreten: Perron-Frobenius Operatoren, Tits Alternative. Einige grundlegende Fragen über die Existenz von proximalen Abbildungen sind geklärt worden. Außerdem können Fragen über kompliziertere Transformationen, insbesondere über deren Lyapunov-Filtrierung, auf solche über proximale Abbildungen zurückgeführt werden. In der grundlegenden Arbeit von Gol'dsheid und Margulis wurde die Frage beantwortet, wie die Lyapunov-Filtrierung von Produkten von zufälligen Matrizen aussieht. Dieses Resultat wiederum wurde in der genannten Arbeit angewandt auf ein Problem aus der mathematischen Physik, nämlich auf Schrödinger Matrix-Differenzengleichungen. Geplant ist, in diesem Teil des Projekts die Dynamik linearer Abbildungen dazu zu benutzen, um die begonnenen Untersuchungen zum Auslander-Problem und allgemeiner über affine kristallografische Gruppen fortzusetzen. Ein zweiter Teil des Projekts betrifft geometrische Aspekte von linearen algebraischen Gruppen. Diese Gruppen, insbesondere die reduktiven Gruppen, tragen verschiedene natürliche Metriken, gegeben durch die Operatornorm, die natürlichen Wirkungen auf symmetrischen Räumen bzw. Bruhat-Tits-Gebäuden, die Exponentenbewertung auf maximalen Tori und die Wortmetrik für ein kompaktes Erzeugendensystem. Studiert werden sollen die geometrischen Eigenschaften dieser Metriken auf der gegebenen Gruppe und auf arithmetischen Untergruppen. Insbesondere soll an folgenden Fragen gearbeitet bzw. weitergearbeitet werden: In wie weit stimmen die aufgeführten Metriken überein (Quasiisometrie, grobe Isometrie)? Entstehen neue Metriken, wenn man entsprechende Konstruktionen für arithmetische Untergruppen G der gegebenen Gruppe G macht (Vermutung von Kazhdan)? Wie verhält sich die Metrik des homogenen Raums G/G zu der eines Fundamentalbereichs nach Siegel für G in G (Vermutung von Siegel)? Ein dritter Teil betrifft kristallografische Gruppen. In einer kürzlich erschienenen Arbeit wird die folgende Frage behandelt: Gegeben sei eine endliche Menge S von Isometrien des affinen euklidischen Raumes Rn. Unter welchen Bedingungen ist die von S erzeugte Gruppe G diskret bzw. sogar kristallografisch? Die Antwort wird als Serie von Tests formuliert. G ist genau dann diskret bzw. kristallografisch, wenn S alle Tests besteht. Das Verfahren ist algorithmisch, sollte also im Prinzip auch für eine Rechenmaschine programmierbar sein. Eine lohnende Aufgabe wäre es, ein solches Programm zu entwickeln, zu testen, Laufzeiten festzustellen und das Verfahren entsprechend den Bedürfnissen des Rechners weiter auszugestalten und zu verbessern. Ein vierter Teil betrifft multiplikative Ergodensätze. A. Karlsson hat in seiner Dissertation unter der Anleitung von G. Margulis einen sehr allgemeinen Zugang zu einer ganzen Reihe von Ergebnissen erarbeitet, die man als multiplikative Ergodensätze interpretieren kann. Der Zugang ist gleichzeitig geometrisch und wahrscheinlichkeitstheoretisch. Genauer gesagt wird ein multiplikativer Ergodensatz für zufällige Produkte von nichtexpandierenden Abbildungen bewiesen. Dieser fruchtbare Ansatz soll weiter verfolgt und vertieft werden. ...
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