Effizientes, numerisches Berechnungskonzept für die Unsicherheits-quantifizierung von komplexen, hochdimensionalen und nichtlinearen stochastischen Problemen

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Udo Nackenhorst
• Fachliche Zuordnung: Angewandte Mechanik, Statik und Dynamik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 527222589

Die Herausforderungen der hochdimensionalen, nichtlinearen Zuverlässigkeitsanalyse und der Bayes'schen Invertierung ergeben sich aus der Kopplung von der stochastischen Dimensionalität, Nichtlinearität und Komplexität des Berechnungsmodells. Daher ist das Ziel dieses Projektes eine stochastische Finite-Elemente-Methoden (SFEM) zu entwickeln, welche diese Probleme effizient und genau lösen, sowie die nachfolgende Zuverlässigkeitsanalyse und Bayes'sche Invertierung auf Basis der stochastischen Lösungen durchführen kann. Dieses Projekt lässt sich in die folgenden fünf Teile gliedern: 1) SFEM Entwicklung: Aktuell ist die Lösung hochdimensionaler, nichtlinearer stochastischer Probleme eine Herausforderung, aufgrund der Auftretens von hoch dimensionalen stochastischen Räumen und Nichtlinearitäten. Zur Behandlung der Nichtlinearitäten werden hochdimensionalen linearen SFEMs, aus früheren Arbeiten, kombiniert, sowie eine neuartige stochastischen Newton-Methode zur Behandlung entwickelt. 2) Entwicklung effizienter SFEM auf Basis von Gebietszerlegung: Eine weitere Herausforderung besteht darin, diese Probleme auf großräumigen Domänen effizient zu lösen. Zu diesem Zweck werden parallele SFEMs entwickelt durch die Erweiterung der bereits entwickelten Methoden mittels Gebietszerlegungsmethoden. 3) Entwicklung einer SFEM-basierten Zuverlässigkeitsanalyse: Die Abschätzung von Grenzzustandsflächen und Versagenswahrscheinlichkeiten für hochdimensionale nichtlineare Probleme ist aufwendig. Basierend auf den stochastischen Lösungen, die durch die oben genannten SFEMs erhalten werden, können effizient und schnell eine große Anzahl von Stichprobenrealisierungen der stochastischen Lösungen erzeugt werden. So können die Grenzzustandsflächen und Versagenswahrscheinlichkeiten in der Zuverlässigkeitsanalyse effizient und genau berechnet werden. 4) Entwicklung einer SFEM-basierten Bayes'schen Invertierung: Die hochdimensionale und nichtlineare Bayes'schen Invertierung benötigt für die exakte Auswertung von Likelihood-Funktionen und Posterior-Verteilungen eine Vielzahl von Lösungen und ist daher sehr aufwendig. Durch die große Anzahl von Stichproben der stochastischen Lösungen, die durch die entwickelten SFEMs berechnet werden, kann der Rechenaufwand für das wiederholte Lösen vermieden werden. 5) Benchmark-Probleme und Validierung: Um die in den obigen Abschnitten vorgeschlagenen Methoden zu validieren, werden mehrere Benchmark-Probleme im Kontext der Festkörpermechanik ausgewählt. Hierbei wird besonders auf die Rechengenauigkeit und Effizienz der vorgeschlagenen Methoden eingegangen und gegen Referenzlösungen verglichen. Die stochastischen Referenzlösungen für die Versagenswahrscheinlichkeiten in der Zuverlässigkeitsanalyse und die Posteriori-Verteilungen in der Bayes'schen Invertierung werden mittels der Monte Carlo Simulation mit einer großen Anzahl von Realisierungen gelöst.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen