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Projekt
Dissipative Lösungen für das Navier-Stokes-Korteweg System und ihre numerische Behandlung
Antragsteller
Professor Dr. Jan Giesselmann; Privatdozent Dr. Philipp Öffner
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung seit 2023
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 525866748
Viele Probleme in der Strömungsmechanik werden mittels der kompressiblen Euler- oder Navier-Stokes (NS)-Gleichungen beschrieben. Für diese wurde kürzlich das verallgemeinerte Lösungskonzept von dissipativen schwachen Lösungen (DW) als Alternative zu klassischen Lösungskonzepten eingeführt. Der Nutzen dieses Konzepts wurde in einer Reihe von theoretischen und numerischen Arbeiten belegt. So erfüllen DW- Lösungen die schwache Formulierung der Gleichungen nur bis auf Defekt- und Oszillationsmaße und können dadurch als Grenzwerte von konsistenten und stabilen numerischen Methoden interpretiert/identifiziert werden. Tatsächlich wurde für verschiedene strukturerhaltende Verfahren die Konvergenz gegen DW-Lösungen gezeigt. DW-Lösungen sind insofern eine natürliche Verallgemeinerung klassischer Lösungen als sie mit ihnen übereinstimmen, solange klassische Lösungen existieren, was auch als schwach-starkes Eindeutigkeitsprinzip bezeichnet wird. Gleichzeitig sind DW-Lösungen auch starke Lösungen, wenn sie eine gewisse Regularität aufweisen. Eine Erweiterung der Navier-Stokes Gleichungen sind die Navier-Stokes- Korteweg (NSK) Gleichungen, welche Kapillarität mit einbeziehen. Unsere Untersuchungen der NSK Gleichungen, sind durch die jüngsten Arbeiten von Slemrod motiviert, die darauf hindeuten, dass der rigorose Übergang von Lösungen mesoskopischer Gleichungen (Boltzmann) zu makroskopischen Systemen, was auch als Hilberts sechstes Problem bekannt ist, für klassische Systeme (NS und Euler) aufgrund des Auftretens von Van-der-Waals-Korteweg-Kapillaritätstermen in einer makroskopischen Beschreibung scheitert. Aus diesem Grund sind Korteweg-Systeme besser geeignet, um reale Fluidströmungen zu modellieren. In unserem Projekt wollen wir das Konzept von DW-Lösungen auf lokale und nicht-lokale NSK-Gleichungen erweitern. Wir werden DW-Lösungen so definieren, dass sie eine natürliche Erweiterung klassischer Lösungen sind, d. h. so, dass sie ein schwach-starkes Eindeutigkeitsprinzip erfüllen. Darüber hinaus planen wir, ihre globale Existenz zu beweisen, indem wir die Existenz des Grenzwertes strukturerhaltender numerischer Verfahren zeigen. Dafür werden wir strukturerhaltende Methoden niedriger Ordnung konstruieren und analysieren. Im weiteren Verlauf des Projektes werden wir uns auch mit der Entwicklung von strukturerhaltenden Finite-Elemente Verfahren hoher Ordnung beschäftigen und ihre Konvergenz beweisen. In unserem Projekt verallgemeinern wir somit das klassische Lösungskonzept und liefern neue Einblicke in die Beschreibung von Fluidströmungen. Unsere Untersuchungen sind sowohl theoretischer als auch numerischer Natur und liegen in den Zielen des Schwerpunktprogramms 2410.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
