Zufällige kompressible Euler Gleichungen: Numerik und ihre Analysis

• Antragstellerinnen / Antragsteller: Professor Dr. Michael Herty; Professorin Dr. Maria Lukacova
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 525853336

Mathematische Beschreibungen in den Naturwissenschaften und im Ingenieurwesen enthalten mehrere Quellen an Unsicherheiten, zum Beispiel in Parametern, Anfangs- und Randdaten. Um zuverlässige simulative Vorhersagen zu ermöglichen, sind daher deterministische Modelle nicht notwendigerweise geeignet. Zudem werden ausgefeilte Methoden nötig sein, um den Einfluss der Unsicherheiten in den numerischen Lösungen quantifizieren zu können. Im Hinblick auf analytische Resultate und korrespondierenden numerischen Verfahren hat es in den letzten Jahren große Fortschritte in diesem Feld für elliptische und parabolische Gleichungen gegeben, die aber bisher noch nicht vollständig auf hyperbolische Probleme übertragen worden sind. Eine Schwierigkeit der letztgenannten Klasse von Gleichungen liegt in dem Verlust der Regularität der Lösungen über die Zeit, die durch den nichtlineare Transport hervorgerufen wird und die insbesondere auch in der Dimension der zufälligen Variable zu beobachten ist. Die Quantifizierung von Unsicherheiten für die Euler Gleichungen ist auch intrinsisch mit dem Feld der statistischen Hydrodynamik verbunden. Hierbei ist die Idee, zufällige oder statistische Lösungen der kompressiblen Gleichungen zu nutzen, um turbulentes Verhalten beschreiben zu können. Wir planen das Verständnis zufälliger, bzw. statistischer Lösungen für die kompressiblen Euler Gleichungen zu vertiefen und werden hierzu analytische und numerische Resultate erarbeiten. Das vorgeschlagene Projekt verfolgt in diesem Zusammenhang drei Ziele: Zunächst führen wir einen neuen Lösungsbegriff, die zufälligen, dissipativen Lösungen ein, deren Existenz mit Hilfe der Konvergenz approximativer Lösungen gezeigt werden. Um Kompaktheit der approximativen Folge zu erhalten, werden entsprechende Kompaktheitsaussagen stochastischer Räume benutzt. Hierzu soll der Fehler der numerischen Approximation durch eine herzuleitende Energieungleichung kontrolliert werden. Zudem sollen mit Hilfe von Kompaktheitsresultaten für mengenwertigen Abbildungen, der sogenannten K-Konvergenz, der Reynoldstensor und die Energiedissipation approximiert werden. Als zweites Ziel planen wir basierend auf dem Lösungsbegriff der zufälligen, dissipativen Lösungen neue numerische Verfahren herzuleiten. Hierfür soll eine Momentenapproximation genutzt werden, die eine Beschreibung für die Evolution der statistischen Momente der Lösung mittels effektiver Gleichungen erlaubt. Als drittes Ziel wollen wir den Grenzwert kleiner Machzahlen der zufälligen schwach-kompressiblen Euler Gleichung betrachten. Hierfür sollen asymptotisch-erhaltende numerische Verfahren hergeleitet werden. Zusammenfassend werden in diesem Antrag die Aspekte mehrskaliger Simulation hyperbolischer Gleichungen und das komplexe Zusammenspiel zwischen Zufälligkeit und hyperbolischem Transport betrachtet. Durch neue, entropiestabile und strukturerhaltende Verfahren planen wir zu den übergreifenden Zielen des SPP 2410 beizutragen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2410: Hyperbolische Erhaltungssätze in der Fluidmechanik: Komplexität, Skalen, Rauschen (CoScaRa)
• Internationaler Bezug: China, Tschechische Republik, USA
• Kooperationspartnerinnen / Kooperationspartner: Professorin Dr. Alina Chertock; Professor Dr. Eduard Feireisl; Professor Dr. Alexander Kurganov