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Projekt
Numerische Verfahren für gekoppelte Mehrskalenprobleme
Antragsteller
Professor Dr. Michael Herty; Professor Dr. Siegfried Müller
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung seit 2023
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 525842915
Die Kopplung von Modellen auf unterschiedlichen Skalen ist allgegenwärtig in der mathematischen Modellierung. Ein bedeutendes Beispiel ist die Erdsystemmodellierung. Die vollständige Beschreibung des Prozesses erfordert die Kopplung von Modellen auf unterschiedlichen Skalen. Dies stellt eine große analytische und numerische Herausforderung dar. Insbesondere sollten relevante Eigenschaften über die Modelle und Skalen hinweg erhalten bleiben und eine effiziente numerische Berechnung sollte möglich sein, um Echtzeitsimulationen durchführen zu können. Obwohl die Kopplung von Systemen von Bilanzgleichungen in der Vergangenheit schon erfolgreich durchgeführt wurde, weisen die entwickelten Ansätze Schwächen auf. Ein Großteil der in den vergangenen Dekaden durchgeführten Arbeiten beziehen sich auf den räumlich eindimensionalen Fall im Kontext von Netzwerkproblemen für unterschiedliche Anwendungsbereiche. Zur Entwicklung analytischer und numerischer Ergebnisse wurden dabei als Kernelement (Halb-)Riemannlöser am Kopplungsrand verwendet. Die entwickelten Techniken erfordern die analytische Darstellung der nichtlinearen Wellenkurven, die in vielen relevanten Modellen nicht explizit verfügbar sein könnten. Dies schränkt diese Techniken empfindlich ein. Diese Entwicklungen spiegeln sich auch in den numerischen Verfahren wider, die in fast der gesamten Literatur auf Riemannlöser am Kopplungsrand basieren außer für einige wenige Ausnahmen, die sich jedoch nicht auf den relevanten mehrskaligen Fall übertragen lassen. Auch sind eigenschaften-erhaltende numerische Kopplungsmethoden für Modelle auf der gleichen Skala nicht verfügbar. Erweiterungen auf räumlich mehrdimensionale Probleme werden typischerweise mittels der Projektion der Flüsse in Normalrichtung durchgeführt, die aber formal auf eindimensionale Systeme führen. Ferner hat die Frage der Kopplung über Skalen hinweg erst kürzlich an Interesse gewonnen, allerdings ist die Entwicklung eines allgemeinen methodischen Ansatzes und korrespondierende eigenschaften-erhaltende Methoden noch vollkommen offen. Das Ziel des Projekts ist die Entwicklung numerischer Methoden für mehrskalige gekoppelte Probleme, die sich in der nichtlinearen Fluiddynamik ergeben. Insbesondere sollen Verfahren entwickelt werden, die nicht auf Riemannlöser am Kopplungsrand aufbauen, und die eine Erweiterung auf mehrskalige und --- im Hinblick auf turbulente Strömungen --- räumlich mehrdimensionale Probleme erlauben. Die Entwicklung der Verfahren wird sowohl durch eine Analyse der Eigenschaften als auch der Implementierung verschiedener Szenarien für (mehrdimensionale) Systeme von hyperbolischen Bilanzgleichungen und/oder transport-dominierten Problemen, die mehrere Skalen aufweisen, begleitet. Die entwickelten numerischen Methoden werden am Beispiel von Systemen der Gasdynamik und einem Transpirationskühlungsproblem veranschaulicht. Zu diesem Zweck wird ein Relaxationsansatz für gekoppelte Transportprobleme entwickelt.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
