Kinetische Lösungen für ausgewählte hyperbolische Anfangs- und Randwertprobleme

• Applicant: Professor Dr. Wolfgang Dreyer
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2001 to 2005
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5223229

Es gibt spezielle Systeme hyperbolischer Erhaltungs- und Bilanzgleichungen, die mit Hilfe einer darunterliegenden kinetischen Theorie und des Maximum-Entropie-Prinzips beschrieben werden können. Für diese Systeme lassen sich Lösungsmethoden entwickeln, die nicht nur eine gute numerische Auflösung der Stoßstrukturen von schwachen Lösungen ermöglichen, sondern die darüber hinaus auch auf allgemeinere Anfangs- und Randwertaufgaben anwendbar sind. Beides spielt eine sehr große Rolle in den Anwendungen. Besonders schwierig sind hierbei instationäre Anfangs-Randwertaufgaben. Bei den nichtlinearen Systemen versagen viele klassische Methoden, während der kinetische Ansatz zum Erfolg führt. In diesem Projekt ist insbesondere eine Anwendung auf die hyperbolische Wärmeleitung in einem Kristall bei tiefen Temperaturen geplant. Hierbei wird das physikalische System durch ein Phonon-Bose-Gas beschrieben. Einige der auftretenden Phänomene lassen sich mit einem 2 x 2 System nichtlinearer gekoppelter Wellengleichungen mit rechter Seite beschreiben. Das Anfangs-Randwertproblem für dieses System haben die Antragsteller bereits erfolgreich mit einer neuen kinetischen Methode gelöst, und schlagen nun ein 3 x 3 System zur Beschreibung weiterer Phänomene der hyperbolischen Wärmeleitung vor. Die neue kinetische Methode beinhaltet unter anderem die Auswertung von algebraischen Stetigkeitsbedingungen am Rand, was eine wesentliche Rolle bei Randwertaufgaben spielt. Diese Stetigkeitsbedingungen wurden von den Antragstellern für das Phononen-Gas entwickelt und sollen nun außerdem bei der numerischen Behandlung von Randwertaufgaben für die Euler-Gleichungen der Gasdynamik eingesetzt werden. Die Antragsteller haben bisher Randdaten für das Euler-Gas mit einer anderen Methode berücksichtigt und können nun interessante Vergleiche zwischen beiden Methoden durchführen.

• DFG Programme: Priority Programmes
• Subproject of: SPP 1035: Analysis und Numerik von Erhaltungsgleichungen
• Participating Person: Dr. Matthias Kunik