Stabilisierung durch singuläres Rauschen in einem Modell für epitaktisches Schichtwachstum

• Antragsteller: Professor Dirk Blömker, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 514726621

Ausgangspunkt des Projektes ist ein epitaktisches Dünnschichtmodell für das Wachstum einer kristallinen Oberfläche in Gegenwart einer Schwoebel-Barriere, die es den abgelagerten Atomen, die auf der Oberfläche diffundieren, nicht erlaubt, Stufen hinunterzuspringen. Das mathematische Modell für den Graph der Oberfläche ist durch eine semilineare parabolische stochastische partielle Differentialgleichung vierter Ordnung gegeben, die durch ein kleines additives weißes Raum-Zeit-Rauschen aufgrund von thermischen Fluktuationen in dem auf der Oberfläche abgelagerten Material, gestört wird. Durch die Schwoebel Barriere ist die Nichtlinearität jedoch klein für sehr steile Oberflächen. Unser Hauptziel ist es, zu verifizieren, dass das stochastische Modell sich nicht so verhält, wie es die Modellierung voraussagt. Hauptgrund hierfür sind Stabilisierungseffekte, die durch das Rauschen verursacht werden. Wir glauben, dass die räumliche Rauheit des Rauschens tatsächlich alle nichtlinearen Effekte des Modells eliminiert. Das deterministische Modell ist gut untersucht, und man beobachtet das Wachstum von Hügeln auf einer anfangs flachen Oberfläche, da die Nichtlinearität sich für kleine Lösungen wie eine lineare Instabilität verhält. Für das stochastische Modell ist die Lösung jedoch nicht regulär genug, um die Gleichung mit Standardmethoden zu lösen. Hier müssen Renormierungseffekte, wie zum Beispiel bei 'Regularity structures', berücksichtigt werden. Wir glauben, dass das Vorhandensein von beliebig kleinem weißen Raum-Zeit-Rauschen überraschenderweise alle nichtlinearen Effekte eliminiert und somit die Dynamik stabilisiert und das Wachstum von Hügeln in diesen Modellen nicht zulässt. Dennoch kann eine Diskretisierung des Modells oder ein regularisiertes Rauschen immer noch zu einer Musterbildung führen, wie sie von physikalischen Experimenten erwartet wird. Dies zeigt sich auch in der Analyse und den numerischen Simulationen für die deterministische Gleichung. Aber selbst das Hinzufügen eines beliebig kleinen Rauschens entfernt alle nichtlinearen Effekte, keine Musterbildung ist sichtbar, und die Oberfläche bleibt flach. Ein Hauptziel unseres Projekts ist es, diesen Übergang zwischen dem Wachstum von Hügeln und einer flachen Oberfläche zu verstehen, der durch die Rauheit des Rauschens hervorgerufen wird.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen