Renormierung unter dem Prisma der meromorphen Funktionen in mehreren Variablen

• Antragstellerin: Professorin Sylvie Paycha, Ph.D.
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 512473164

Meromorphe Funktionen sind zentrale Werkzeuge im Kontext der Renormierung, und meromorphe Funktionen in mehreren Variablen mit linearen Polen ergeben sich natürlich aus einer Multiparameter-Renormierung. Sie treten in der Mathematik und der Physik in verschiedenen Verkleidungen, z. B. als Feynman-Integrale, diskrete Summen auf Kegeln und Multizeta-Funktionen. Daher kommt ihre Untersuchung mit verschiedenen Bereichen der Mathematik in Berührung, darunter Zahlentheorie, torische Geometrie, Kategorientheorie und unendlich-dimensionale Topologie. Verglichen mit der üblicherweise verwendeten Ein-Parameter-Renormierung bewirkt eine Multiparameter-Renormierung eine Verschiebung von der Untersuchung der (co-)alge-braischen Struktur, die den zu renormierenden Subdivergenzen zugrunde liegt, zur Untersuchung der Polstruktur der resultierenden meromorphen Keime. So bieten Algebren meromorpher Funktionen in mehreren Variablen ein gemeinsames Werkzeug für verschiedene Renormierungsprobleme. In diesem Rahmen findet die Renormierung in Form eines verallgemeinerten Auswerters statt, einer linearen Form auf einer Algebra meromorpher Funktionen, die die gewöhnliche Auswertung an einem Punkt zu einer geeigneten Auswertung an Polen erweitert. Eine Klassifizierung der verallgemeinerten Auswerter dank einer Gruppe, welche die Rolle einer Renormierungsgruppe spielt, ist das erste Hauptziel dieses Projekts. Eine solche Klassifizierung kann dank einer zugrundeliegenden Lokalitätsrelation durchgeführt werden, einer symmetrischen binären Relation auf meromorphen Keimen, die eine trennende Funktion hat und dem Zweck dient, die zu renormierenden Subdivergenzen von einander zu trennen. Um den Erfordernissen einer Multiparameter-Renormierung gerecht zu werden, muss der in früheren Arbeiten entwickelte algebraische Lokalitätsrahmen auf einen topologischen Lokalitätsrahmen erweitert und die damit verbundenen analytischen Werkzeuge über die binäre Orthogonalitätsrelation hinaus verallgemeinert werden, was das zweite anspruchsvolle Ziel dieses Projekts ist. Unser drittes Ziel ist die Untersuchung der Polstruktur regulierter Amplituden, die von Graphen abgeleitet sind, die durch holomorphe Familien klassischer Pseudodifferentialoperatoren dekoriert sind, und die Erfassung ihrer Polstruktur durch universelle Eigenschaften von Graphen, dies unter Verwendung von PROPs und deren Verallgemeinerungen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen