Grundlagen und Anwendungen der Kontakthomologie

• Applicant: Professor Dr. Klaus Mohnke
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 1998 to 2002
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 5095878

Kontakhomologie ist eine neue, effiziente Invariante zur Unterscheidung von Kontaktmannigfaltigkeiten und Legendreverschlingungen zum Studium der Dynamik des Reebflusses. Grob gesprochen kann sie als Homologie des Morse-Witten-Komplexes eines Aktionsfunktionals auf dem Raum der regulären unparametrisierten Schleifen in der Kontaktmannigfaltigkeit verstanden werden, wobei die kritischen Punkte die geschlossenen Orbits des Reebflusses und die verbindenden Trajektorien des Gradientenflusses des Funktionals gewisse holomorphe Kurven in der Symplektisierung der Kontaktmannigfaltigkeiten sind, sehr ähnlich zur Floerhomologie. Der reguläre Schleifenraum ist Orbifold (unendlicher Dimension). Mit der großen Ausnahme von möglichem 'bubbling' von holomorphen Ebenen sind viele Phänomene, die neuartig vom Standpunkt 'klassischer' Morse-Witten-Theorie sind, bereits für endlich-dimensionale Orbifolds zu finden. Deshalb soll in der weiteren Arbeit zuerst letztere konstruiert und eingehend untersucht werden. Sie wird auch für die Konstruktion der Kontakthomologie in 'Morse-Bott-artigen Situationen, d.h. wenn es Familien geschlossener Reeborbits gibt, gebraucht. Ein weiterer Schwerpunkt der Arbeit wird die Konstruktion einer, mit der Verklebung konsistenten Orientierung sein. Das Resultat über das Verhältnis der Kontakthomologien einer endlichen Überlagerung zu ihrer Basis wird in der Situation der Universalüberlagerung studiert (die nicht endlich zu sein braucht), als auch in der ganzen Allgemeinheit der symplektischen Feldtheorie, d.h. mit holomorphen Kurven von höherem Geschlecht, mit beliebig vielen positiven Enden unter Einbeziehung der Topologie des Modulraums konformer Strukturen auf Riemannschen Flächen.

• DFG Programme: Research Fellowships