Kardinale Invarianten von Baumidealen, Antikettenzahlen und deren Beziehung zur stetigen Ramsey-Theorie

• Antragsteller: Professor Dr. Otmar Spinas
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung seit 2020
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 447849607

Es sollen offene Fragen im Zusammenhang mit kardinalen Invarianten klassischer Baumideale, insbes. deren Additivität und Kofinalität, beantwortet werden. Diese Ideale sind definiert auf dem Cantor-Raum bzw. dem Baire-Raum mittels gewisser Baumordnungen (Forcings) bestehend aus Teilbäumen des binären Baums bzw. des Baums aller endlichen Folgen natürlicher Zahlen. Im besonderen Fokus steht das Marcewski-Ideal und die Frage, ob dessen Additivität nach oben beschränkt ist durch die Spaltungszahl s oder zumindest deren abzählbare Variante s_\sigma. Dieses Problem ist verknüpft mit der alten ungelösten Frage, ob s = s_\sigma beweisbar ist.Da der exakte Wert einer kardinalen Invariante typischerweise nicht in ZFC entschieden werden kann, werden ZFC-Modelle, also Modelle des mathematischen Universums, untersucht, die zumindest die Konsistenz einer fraglichen Beziehung zweier Invarianten nachweisen. Zur Konstruktion solcher Modelle wird in aller Regel die sogen. Forcing-Technik verwendet.Aufgrund der Definition von Baumidealen muss zu ihrer Erforschung die Struktur und Größe maximaler Antiketten des zugehörigen Forcings untersucht werden, insbes. sogen. Antikettenzahlen. Von großer Bedeutung ist hier die technische Frage, wann die Maximalität einer Antikette in einem Grundmodell in einem mittels Forcing konstruierten Erweiterungsmodell erhalten bleibt.Aktuelle Forschungsresultate des Antragsstellers zeigen die Verknüpfung des Problems, ob die Addi-tivität des Marcewski-Ideals durch s_\sigma beschränkt ist, mit der Homogeneitätszahl hm, die in der Theorie stetiger Färbungen der Cantor-Ebene auftritt. Falls nämlich hm gleich der Kardinalität des Kon-tinuums ist, so gilt die besagte Ungleichung. Es ist bekannt, dass im Fall, dass hm kleiner als das Kontinuum ist, hm dessen kardinaler Vorgänger, somit das Kontinuum eine Nachfolgerkardinalzahl ist. Dies bestärkt die Vermutung, dass das genannte Problem positiv gelöst werden kann; denn dass es davon abhängt ob das Kontinuum Limes- oder Nachfolgerkardinalzahl ist, wäre höchst merkwürdig.Neben dem Marcewski-Ideal existieren etliche andere Baumideale, die teilweise schon intensiv er-forscht worden sind. Von besonderem Interesse ist das Spaltungsideal, welches mittels Spaltungs-bäumen auf dem Cantor-Raum definiert ist. Keinerlei nichttriviale obere Schranken für dessen Additivi-tät sind bekannt. Kandidaten hierfür sind die Unbeschränktheitszahl b und die Überdeckungszahl des mageren Ideals cov(M).Offen sind auch verschiedene Querbeziehungen zwischen Additivitäten verschiedener Baumideale. So vermute ich, dass die Additivität des Silver-Ideals beschränkt ist durch jene des Marcewski-Ideals.Da aufgrund der Theorie der Tukey-Relationen eine Dualität zwischen Additivitäten und Kofinalitäten von Idealen besteht, ergibt in der Regel eine beweisbare Ungleichung zwischen zwei Additivitäten die umgedrehte Ungleichung für deren Kofinalitäten. Deshalb sind auch Kofinalitäten von Baumidealen Thema dieses Antrags.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen