Selbstadjungiertheit von Laplace- und Dirac-Operatoren auf durch nichtkompakte Hyperflächen geblätterten Lorentzmannigfaltigkeiten

• Antragsteller: Professor Dr. Felix Finster
• Fachliche Zuordnung: Mathematik ; Kern- und Elementarteilchenphysik, Quantenmechanik, Relativitätstheorie, Felder
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2024
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441840529

Die Spektraltheorie von Laplace(-Beltrami)- und Dirac-Operatoren wird in einem globalen Lorentz-geometrischen Rahmen untersucht. Die beiden betrachteten Arten von Lorentzmannigfaltigkeiten sind: 1) Zeitabhängige, global hyperbolische Mannigfaltigkeiten und 2) Statische oder stationäre, nicht-global-hyperblische Mannigfaltigkeiten. Selbstadjungierte Erweiterungen der obigen Operatoren werden studiert. Zusätzlich zum Beweis der Existenz einer selbstadjungierten Erweiterung studieren wir die Eindeutigkeit dieser Erweiterungen durch die Untersuchung der wesentlichen Selbstadjungiertheit. Anwendungen auf die Allgemeine Relativitätstheorie und Quantenfeldtheorie in gekrümmter Raumzeit werden ausgearbeitet.Die hauptsächliche Methode für die Wellengleichung ist die Anwendung eines neueren Ergebnisses von Shubin, welches besagt, dass ein gewichteter Laplace-Beltrami-Operator plus ein lokal quadrat-integrierbares Potential auf dem Raum der glatten, kompakt getragenen Funktionen auf einer vollständigen Riemannschen Mannigfaltigkeit wesentlich selbstadjungiert ist. Vorarbeiten zeigen, dass es eine hinreichende Bedingung für wesentliche Selbstadjungiertheit ist, dass nach einer konformen Transformation die induzierte Riemannsche Metrik auf jedem Blatt der Foliation vollständig ist. Dementsprechend besteht der zweite Teil des Projektes in der Klassifikation derjenigen zeitabhängigen, global hyperbolischen Mannigfaltigkeiten, welche diese Bedingung erfüllen. Der dritte Teil des Projektes besteht darin, diese Methoden zu erweitern auf die Untersuchung wesentlicher Selbstadjungiertheit des Laplace- und Dirac-Operators in statischen oder stationären, nicht-global-hyperbolischen Mannigfaltigkeiten. Im letzten Teil verwenden wir diese Ergebnisse für die Konstruktion komplexer Strukturen auf den Lösungsräumen, wie sie für die Quantisierung benötigt werden.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen
• Mitverantwortlich: Professor Dr. Rainer Verch