Singuläre riemannsche Blätterungen und Kollaps

• Antragsteller: Dr. Diego Corro Tapia
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2020 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 441806116

Im vorliegenden Forschungsvorschlag untersuchen wir geometrische Verformungen eines geometrischen Raumes über metrische Foliationen. Dies liegt im Kontext der Entwicklung von Werkzeugen zum Studium geometrischer Räume. Eines der grundlegenden Probleme in der Mathematik ist das Verständnis von geometrischen Räumen.Dies erlaubt uns einerseits, wie zum Beispiel in der Relativitätstheorie, den Raum in dem wir leben zu beschreiben. Andererseits können wir auch geometrische Modelle für abstraktere Menge (oder Strukturen darin), wie Datenpunkte in Datenbanken, oder der Parameterraum eines Roboterarmes, um paar Beispiele zu nennen.Ein Ansatz, um die Geometrie eines Raumes zu beschreiben, ist die Betrachtung seiner Symmetrien. Grove hat in diesem Zusammenhang vorgeschlagen, zunächst Mannigfaltigkeiten mit vielen Symmetrien zu untersuchen, ohne die genaue Bedeutung von “Symmetrie” zu definieren. Man kann zum Beispiel Symmetrie als eine Menge von “Rotationen” ansehen, die durch ein algebraisches Objekt namens Gruppe beschrieben werden. Durch diese Herangehensweise konnte man erfolgreich Räume verstehen, die lokal wie eine verformte Sphäre aussehen, also eine nichtnegative untere Krümmungsschranke haben.In der neueren Literatur fand eine andere Art von Symmetrie, sogenannte singuläre riemannsche Blätterungen, für diesen Zweck Beachtung. Dabei nimmt man an, dass der geometrische Raum aus parallelen Unterräumen aufgebaut ist. Der Begriff der singulären riemannschen Blätterungen ist viel flexibler als die Definition durch Gruppen, aber erzeugt auch mehr technische Herausforderungen bei der Beschreibung der Geometrie.Es ist bekannt, dass sich die beiden Konzepte von Symmetrien durch Gruppen und Blätterungen unterscheiden, aber es ist offen, wie stark sie sich unterscheiden oder übereinstimmen.Ein besonders interessantes Phänomen in der Geometrie ist der Kollaps eines geometrischen Raumes, sodass die Krümmung des Raumes nicht zu stark verändert wird. Zum Beispiel könne wir alle Längenkreise auf der Oberfläche eines Donuts (einem Torus) schrumpfen. In diesem Fall kollabiert der Torus zu einem Kreis. Wenn der Raum nicht zu kompliziert ist, das bedeutet hier, dass sich jede Schleife in dem Raum zu einem Punkt zusammenziehen lässt, folgt aus dem Phänomen des Kollaps die Existenz von vielen Symmetrien des Raumes, im Sinne einer Gruppe. Indem wir erforschen, unter welchen Bedingungen ein Raum mit einer Blätterung kollabiert, können wir Techniken entwickeln um herauszufinden, wann die beiden Definitionen von Symmetrien — durch Gruppen und Blätterungen — übereinstimmen.Außerdem ist das Phänomen des Kollaps eine geometrische Verformung. Die Untersuchung, unter welchen Bedingungen die Existenz einer Blätterung einen Kollaps verursacht, erlaubt es uns neue Techniken zum Verformen von Räumen zu entwickeln. Dies kann angewandt werden, um Räume mit nichtnegativen unteren Krümmungsschranken zu untersuchen und neue Beispiele solcher Räume zu konstruieren.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 2026: Geometrie im Unendlichen
• Internationaler Bezug: Großbritannien, Spanien
• Kooperationspartner: Professor Dr. Luis Guijarro