Hadamard-Zustände in linearisierter Quantengravitation

• Antragsteller: Dr. Simone Murro
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 431341045

Die Quantisierung der allgemeinen Relativitätstheorie ist eines der meist debattiertesten und tückischsten Probleme der theoretischen und mathematischen Physk. Viel wurde darüber geschrieben, einige Modelle wurden vorgeschlagen und doch wurde noch keine zufriedenstellende Lösung gefunden. In den letzten Jahren hat sich abgezeichet, dass die Quantisierung der linearisierten Gravitation nützlich sein kann um Informationen über die lokale Geometrie des vollständigen nicht-linearen Phasenraums der allgemeinen Relativität zu extrahieren. Im Gegensatz zum Fall der allgemeinen Relativitätstheorie scheint die Quantisierung der linearisierten Gravitation noch immer schwer aber in Reichweite zu sein und das Ziel dieses Projektes ist es ein solches Quantisierungsschema zu finden. Dies sollte am besten als zweistufiger Prozess betrachten werden: Im ersten Schritt wird einem klassischen dynamischen System eine geeignete *- Algebra von Observablen A zugewiesen, welche die kanonischen Kommutationsregeln kodiert und die gegenseitig relationale Eigenschaften kodiert; insbesondere Lokalität, Dynamik und Kausalität. Im zweiten Schritt konstruiert man einen Zustand - ein positives lineares Funktional auf A, aus welchem die Standardwahrscheinlichkeitsinterpretation mit Hilfe des GNS-Theorems wiederhergestellt werden kann. Während die Konstruktion von A auf unkomplizierte Weise erreicht werden kann, ist es schwierig, einen physikalisch relevanten Zustand unter der Fülle von positiven linearen Funktionen zu bestimmen. Dies führt zum Begriff von Hadamard-Zuständen, die durch die Wellenfrontenmenge ihrer Zweipunktfunktionen charakterisiert werden. Trotz ihrer strukturellen Bedeutung ist ihre Existenz für die linearisierte Schwerkraft, außer unter sehr speziellen Bedingungen, nicht bewiesen. In diesem Projekt schlagen wir einen systematischen Weg vor, um Hadamard-Zustände unter Verwendung von Methoden der Mikrolokalanalysis zu konstruieren. Dies soll wie folgt erfolgen: Zuerst werden wir eine approximierende Diagonalisierung und eine mikrolokale Zerlegung der Cauchy-Evolution unter Verwendung einer zeitabhängigen Version des Pseudodifferential-Kalküls auf Riemannschen Mannigfaltigkeiten beschränkter Geometrie konstruieren. Durch Anwendung dessen auf Anfangswerte erhalten wir dann Hadamard-Zweipunktfunktionen. Schließlich werden wir die Eichinvarianten wiederherstellen, indem wir die Hadamard-Zweipunktfunktion mit einer geeigneten Spektralprojektion verknüpfen. Diese ist der schwierigste und heikelste Teil des Projekts: Die Wirkung der Projektion sollte weder die Positivität der Zweipunktfunktion zerstören noch ihre Wellenfrontenmenge ändern.Sobald ein Hamadard-Zustand auf der Algebra von Observablen konstruiert ist, die Quantisierung der linearisierten Schwerkraft erreicht werden und die Standardwahrscheinlichkeitsinterpretation mit Hilfe des GNS-Theorems wiederhergestellt werden kann.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Gastgeber: Professor Dr. Christian Gérard