Identifikation von Spannungen in heterogenen Kontaktmodellen

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Georg Duda; Dr. Martin Weiser, seit 11/2022
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2019 bis 2023
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 423768832

Während ein klarer Zusammenhang zwischen mechanischer Belastung des Kniegelenks und Auftreten von Arthrose besteht, sind die zugrundeliegenden Mechanismen nicht im Detail bekannt. Ein wesentlicher Grund ist, dass die Spannungsverteilungen im Gelenkknorpel nicht in vivo gemessen werden können. Stattdessen können sie aus Gangdaten geschätzt werden. Dafür müssen Mehrkörper-Modelle der Beindynamik sowie die Elastomechanik des Gelenkknorpels in ein inverses Problem integriert werden. Die Berechnung von Maximum-Posterior-Schätzern erfordert die Lösung eines großen, heterogenen und gekoppelten Optimierungsproblems, das wegen der Nichtdurchdringungsbedingung im Knorpelkontakt nichtglatt ist.Ziel des Projekts ist die Entwicklung effizienter Methoden zur Lösung solcher Optimierungsprobleme. Die Nichtdurchdringung im Kontakt wird durch einen semiglatten Penalty-Ansatz erzwungen. Die lokale, ausgeprägte Nichtlinearität wird einerseits mit einem Augmented-Lagrange-Ansatz und andererseits mit nichtlinearen Korrekturschritten innerhalb eines Composite-step-Algorithmus behandelt. Letzterer wurde in der ersten Phase des SPP für Optimalsteuerung mit penalisierten Kontaktbedingungen untersucht und soll hier entsprechend erweitert werden. Die Vernachlässigung der Trägheit im Gelenkknorpel ermöglicht dabei die weitgehende Parallelisierung der Schrittberechnungen über den Zeithorizont.Für die Berechnung von Tangential-, Normalen- und nichtlinearen Korrekturschritten werden effiziente Diskretisierungen und Löser für die penalisierte Kontaktmechanik benötigt. Aufgrund der komplexen Geometrie des Gelenkknorpels ist die Konstruktion geometrisch geschachtelter Gitterhierarchien äußerst schwierig, was die Verwendung von Mortar-Diskretisierungen und Punktglättern erschwert. Stattdessen werden wir einfachere, symmetrische Segment-to-Segment Kontaktdiskretisierungen mit adaptiver Quadratur und G1-stetiger Randinterpolation für die Abstandsberechnung untersuchen. Am Kontaktrand werden innerhalb eines semi-geometrischen Mehrgitters überlappende Blockglätter eingesetzt, die effiziente und Penalty-unabhängige Vorkonditionierer für die Berechnung tangentialer und normaler Schritte liefern. Lokale Energieminimierung führt zu nichtlinearen Mehrgitterverfahren, die effiziente Löser für nichtlineare Korrekturschritte darstellen. In diesem Zusammenhang werden wir level-abhängige Penaltyfaktoren untersuchen, um Kontakt-Locking auf dem Grobgitter zu vermeiden.Schließlich werden die algorithmischen Entwicklungen zu einem Optimierungscode zusammengeführt, der das Identifizierungsproblem für bewegungsinduzierte Spannungsverteilungen im Gelenkknorpel effizient lösen kann. Effizienz und Effektivität des Codes wird anhand von patientenspezifischen Gangdaten demonstriert, die in Form von Markerpositionen und Fluoroskopiebildern vorliegen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1962: Nichtglatte Systeme und Komplementaritätsprobleme mit verteilten Parametern: Simulation und mehrstufige Optimierung
• Ehemaliger Antragsteller: Professor Dr. Anton Schiela, bis 11/2022