Loewner-Theorie und nichtkommutative Wahrscheinlichkeitstheorie

• Antragsteller: Dr. Sebastian Schleißinger
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2018 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 401281084

Das Ziel dieses Projekts ist die Untersuchung von Beziehungen zwischen der geometrischen Funktionentheorie, insbesondere der Loewner-Theorie, und der nicht-kommutativen Wahrscheinlichkeitstheorie.Im Jahr 1923 hat C. Loewner bestimmte Evolutionsgleichungen für konforme Abbildungen eingeführt, die bald zu einem wichtigen Werkzeug der komplexen Analysis wurden. Seit der Einführung der Schramm-Loewner Evolution (SLE) durch O. Schramm im Jahr 2000, ist die Loewner-Theorie zu einem aktiven Forschungsfeld geworden, mit interdisziplinären Themen aus komplexer Analysis, Wahrscheinlichkeitstheorie, statistischer Mechanik und konformer Feldtheorie.Die nicht-kommutative Wahrscheinlichkeitstheorie handelt von verallgemeinerten Zufallsvariablen, welche nun im Allgemeinen nicht kommutieren. Dies wird durch die Quantenmechanik motiviert, in welcher Observablen als nicht-kommutative Zufallsvariablen betrachtet werden können. Viele Begriffe aus der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie lassen sich nun auf die nicht-kommutative übertragen. Beispielsweise hat die Theorie der quantenstochastischen Prozesse wichtige Anwendungen für die mathematische Modellierung gewisser Quantensysteme. Der Begriff der Unabhängigkeit spielt in der klassischen Wahrscheinlichkeitstheorie eine zentrale Rolle, und man konnte zeigen, dass es in einem gewissem Sinne fünf Möglichkeiten gibt, diesen Begriff in der nicht-kommutativen Wahrscheinlichkeitstheorie zu definieren. Dies führt zur freien, Booleschen, monotonen, anti-monotonen und Tensor-Wahrscheinlichkeitstheorie.Alle fünf Begriffe führen zu gewissen Faltungen von holomorphen Abbildungen, und an dieser Stelle kommt die komplexe Analysis ins Spiel. Die hierfür verwendeten Methoden sind allerdings eher elementare Hilfsmittel. Ich habe nun eine tiefere Beziehung zwischen komplexer Analysis und monotoner Wahrscheinlichkeitstheorie bemerkt: die beiden meist untersuchten Loewner-Gleichungen (die "radiale" und die "chordale" Gleichung) können als die Lévy-Khintchine-Darstellung von quantenstochastischen Prozessen mit monoton unabhängigen Zuwächsen interpretiert werden.Diese Interpretation der Loewnerschen Differentialgleichungen führt zu mehreren interessanten Fragen und in diesem Projekt möchte ich den Zusammenhang zwischen den beiden Theorien systematisch untersuchen. Lösungen für die von mir beschriebenen Probleme wären einerseits direkt für die nicht-kommutative Wahrscheinlichkeitstheorie von Interesse, würden andererseits aber auch die komplexe Analysen bereichern, weil sie der Loewner-Theorie eine neue, probabilistische Perspektive hinzufügten.Zum Beispiel wurden die Loewner-Theorie und univalente Abbildungen auch in höheren Dimensionen untersucht. Im Gegensatz zum eindimensionalen Fall wurden allerdings bisher keine Anwendungen zu anderen Disziplinen gefunden. Eine multivariate Verallgemeinerung der monotonen Unabhängigkeit führt nun zu einer Evolutionsgleichung für univalente Abbildungen in mehreren Variablen.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen