Mathematische Analysis und Modellierung zeitlicher Veränderungen magnetoelastischer Materialien

• Antragstellerin: Professorin Dr. Anja Schlömerkemper
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2017 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 391682204

• Erstellungsjahr: 2022

Zusammenfassung der Projektergebnisse

Magnetische Materialien haben verschiedenste technische Anwendungen. Unser Ziel ist es, Flüssigkeiten, die magnetische Teilchen einer bestimmten mittleren Größe enthalten, zu verstehen. Unter angelegten Magnetfeldern bleiben Ferrofluide in der flüssigen Phase, während die Viskosität magnetorheolischer Fluide so ansteigt, dass sie zu viskoelastischen Festkörpern werden. Es ist interessant, das Verhalten von Flüssigkeiten mit mittelgroßen Teilchen, die mikromagnetische Domänen aufweisen, mathematisch zu beschreiben. Im Rahmen dieses Projekts arbeiteten wir an verschiedenen Modellen für magnetische und magnetoelastische Flüssigkeiten. Unser erstes Ziel war es, ein Modell zu finden, das die partielle Vermischung von zwei verschiedenen viskosen inkompressiblen Flüssigkeiten erklären kann. Hierzu haben wir zwei mathematische Modelle abgeleitet, die die partielle Diffusion zwischen zwei magnetischen Flüssigkeiten erklären können. Eines der Modelle geht davon aus, dass die beteiligten Flüssigkeiten gleiche Dichten haben, das zweite Modell behandelt den Fall, dass die Flüssigkeitsdichten unterschiedlich sind. Wir haben uns mit der mathematischen Theorie der Wohlgestelltheit beider Modelle beschäftigt und die Existenz von Lösungen mit endlicher Energie nachgewiesen. Darüber hinaus haben wir die Regularität der erhaltenen Lösungen untersucht und gezeigt, dass sich die Lösungen in gewissem Sinne besser verhalten als es im Rahmen der Lösungen mit endlicher Energie erwartet wird. Der zweite Schwerpunkt lag auf einem anderen magneto-elastischem Modell, welches wir aus der Sicht der Kontrolltheorie untersucht haben. Genauer gesagt ging es darum, ein Problem der Optimierung der Geschwindigkeit, der Magnetisierung und des elastischen Verhaltens eines magneto-elastischen Flüssigkeitsmodells durch das Anlegen eines geeigneten Magnetfeldes zu studieren. Mathematisch gesehen stellt sich dieses Problem als Minimierung eines Kostenfunktionals vom Typ Tracking dar. Wir haben die Existenz eines Minimierers für das eingeführte Kostenfunktional bewiesen und gezeigt, dass ein Magnetfeld durch die Verwendung von endlich vielen Feldspulen erzeugt werden kann, das zu einer optimalen Lösung fuührt. Hierzu wurde die Wohlgestelltheit des Systems von partiellen Differentialgleichungen bzgl. starker Lösungen und die Stabilität derselben in Bezug auf das externe Magnetfeld bewiesen.

Projektbezogene Publikationen (Auswahl)

• Existence of weak solutions to a diffuse interface model involving magnetic fluids with unmatched densities
  M. Kalousek, S. Mitra, A. Schlömerkemper
  
• Temperature dependent extensions of the Cahn-Hilliard equation
  F. De Anna, C. Liu, A. Schlömerkemper, J.-E. Sulzbach
  
• About a mathematical difficulty in magnetoviscoelasticity. Oberwolfach Reports 13, 2020
  A. Schlömerkemper
  
• Existence of weak solutions of diffuse interface models for magnetic fluids, PAMM
  M. Kalousek, S. Mitra, A. Schlömerkemper
  
• Global existence of weak solutions to a diffuse interface model for magnetic fluids, Nonlinear Analysis: Real World Applications, Volume 59, June 2021, 103243
  M. Kalousek, S. Mitra and A. Schlömerkemper
  
• Mathematical analysis of weak and strong solutions to an evolutionary model for magnetoviscoelasticity, Discrete & Continuous Dynamical Systems - S, 14 (1), 17-39 (2021)
  M. Kalousek, J. Kortum and A. Schlömerkemper
  
• Global Existence and Uniqueness Results for Nematic Liquid Crystal and Magnetoviscoelastic Flows, PhD thesis, University of Würzburg, 2022
  J. Kortum
  
• Magnetoviscoelastic models in the context of magnetic particle imaging, International Journal on Magnetic Particle Imaging Vol 8, No 1, Suppl 1, 2022, Article ID 2203049, 3 Pages
  S. Mitra, A. Schlömerkemper
  
• Strong well-posedness, stability and optimal control theory for a mathematical model for magneto-viscoelastic fluids, Calculus of Variations and Partial Differential Equations, Vol. 61, Article number 179 (2022)
  H. Garcke, P. Knopf, S. Mitra, A. Schlömerkemper
  
• Struwe-like solutions for an evolutionary model of magnetoviscoelastic fluids, Journal of Differential Equations 309 (2022), 455–507
  F. De Anna, J. Kortum, A. Schlömerkemper