Optimierungsbasierte Regelung verfahrenstechnischer Prozesse Teilantrag 1: Effiziente Ausgangsregelung nichtlinearer verfahrenstechnischer Prozesse mit Hilfe prädiktiver Regelungsverfahren
Final Report Abstract
Im Rahmen des bearbeiteten Projekts wurden neue Methoden im Bereich der nichtlinearen modell-prädiktiven Regelung (NMPC) entwickelt. Der Schwerpunkt lag dabei auf der einen Seite im Entwurf von beobachter-gestützten NMPC Verfahren, die implizit eine gute Beobachterperformance gewährleisten. Auf der anderen Seite wurden NMPC Verfahren zur Regelung von zyklischen Systemen (hier vorwiegend periodische Systeme genannt) entworfen. Im Bereich der beobachter-gestützten NMPC Verfahren wurde eine Methode entwickelt, in der eine gegebene Beobachterdynamik im Regler explizit berücksichtigt wird. Außer in [21] wurde ein solcher Ansatz bisher nur für lineare Systeme verfolgt. Das im Rahmen dieses Projektes erzielte Resultat basiert auf der Formulierung eines min-max-Optimierungsproblems, welches eine optimale Eingangstrajektorie liefert, die eine vorgegebene Konvergenzrate des Beobachterfehlers garantiert, so lange der Beobachterfehler zu Beginn des Prädiktionsintervalls in einer beschränkten Menge liegt [4|. In [54] wurde ein NMPC Regler vorgestellt, der robuste Stabilität garantiert für Systeme mit externen Störungen. Dieser Ansatz kann auch als Ausgangsrückführungsregler verwendet werden, wenn das betrachtete System um die Beobachterdynamik erweitert wird und man den Schätzfehler zu Beginn des Prädiktionsintervalls als Störung betrachtet. Ein weiteres Resultat stellt ein NMPC Zustandsregelungsverfahren dar, welches garantiert, dass die Systemtrajektorien des geschlossenen Regelkreises nicht beobachtbare oder schlecht beobachtbare Bereiche des Zustandsraums vermeiden, oder wenn nötig möglichst schnell durchlaufen [4-6]. Hierfür wird ein geeignetes Maß für die Beobachtbarkeit einer Trajektorie benötigt. In den vorgestellten Arbeiten wird dazu die Determinante der nichtlinearen Beobachtbarkeitsmatrix herangezogen. Diese wird in der Kostenfunktion oder als zusätzliche Beschränkung berücksichtigt, um eine Gewichtung bzw. eine Beschränkung des Beobachtbarkeitsmaßes zu erreichen. In [5, 6, 26, 39, 40] wird die entwickelte Theorie auf ein autonomes Ausweichmanöver angewandt. Im betrachteten Szenario weicht ein PKW einem Hindernis mit einem aggressiven Spurwechsel aus, ohne dabei die Beobachtbarkeit der Lateralgeschwindigkeit zu verlieren. Dies macht sich in einer Verbesserung der entsprechenden Beobachterperformance bemerkbar. Der zweite Schwerpunkt des Projekts lag in der Entwicklung von NMPC Verfahren für beschränkte zeitdiskrete periodische Systeme. Die wenigen zu Beginn der Arbeiten an diesem Projekt existierenden Ansätze für diese Systemklasse erlaubten keine Berücksichtigung von Eingangs- und Zustandsbeschränkungen und waren auf lineare periodische Systeme beschränkt [18, 19, 32, 33]. Außerdem wurde eine relativ schlechte Performance erzielt, da diese Verfahren keine Echtzeit- Optimierung zuließen. Durch die Ergebnisse, die in diesem Projekt erzielt wurden, konnten diese Einschränkungen behoben werden. Zunächst wurde ein NMPC Regler für nichtlineare periodische Systeme entworfen, dessen Entwurfsparameter durch das Lösen eines semi-definiten Programms (SDP) berechnet werden |13]. Für lineare periodische Systeme kann hierbei außerdem das zugehörige Echtzeit-Optimierungsproblem als quadratisch beschränktes quadratisches Programm formuliert werden. Um auch Modellunsicherheiten berücksichtigen zu können, wurde in [11,12, 45] ein NMPC Verfahren entwickelt, welches robuste Stabilität von unsicheren periodischen Systemen garantiert. Dabei wird das Regelgesetz durch das wiederholte Lösen eines SDPs in Echtzeit bestimmt. In [3| wird dieser Ansatz erweitert zu einem NMPC Regler, der erheblich weniger Echtzeit-Rechenleistung verlangt, da auf das Lösen eines Optimierungsproblems in Echtzeit verzichtet wird. In [23] wird ein weiterer Ansatz für lineare periodische Systeme vorgestellt, der ebenfalls einen sehr geringen Echtzeit-Rechenbedarf aufweist. In [14] wurde ein robust stabilisierender NMPC Ansatz hergeleitet für periodische Systeme mit energiebeschränkten externen Störungen. Auch hier erhält man das Regelgesetz durch das wiederholte Lösen eines SDPs in Echtzeit. Darüber hinaus wurde in [29-31] ein NMPC Ansatz für zeitkontinuierliche periodische Systeme entwickelt, dessen Entwurfsparameter über die Lösung der periodischen Riccati Differentialgleichung berechnet werden. Die praktische Anwendbarkeit der entwickelten NMPC Verfahren für periodische Systeme wird teilweise in [3, 50] am Beispiel eines Satellitenlageregelungsproblems dargestellt. Einen weiteren vielversprechenden Ansatz stellt das Konzept der periodischen Lyapunov Funktionen dar, die in [7, 8] eingeführt wurden. Periodische Lyapunov Funktionen dienen der Stabilitätsanalyse von periodischen Systemen und zeichnen sich dadurch aus, dass eine Abnahme der Lyapunov Funktion nur nach jeder Periode, nicht aber nach jedem Zeitschritt, verlangt wird. Basierend auf [36] wurde in [7] dieses Konzept erweitert hin zu trajektorien-abhängigen periodischen Kontroll Lyapunov Funktionen (taPKLFs) als Grundlage eines neuen NMPC Verfahrens für periodische Systeme. Dabei wird in Echtzeit durch das wiederholte Lösen eines SDPs eine periodische Kontroll Lyapunov Funktion konstruiert. Das NMPC Verfahren [54] garantiert robuste Stabilität für nichtlineare Systeme mit externen Störungen, Hierfür ist die Berechnung eines Hilfsrückführungsgesetzes notwendig, was bisher nur über sehr konservative Bedingungen erreicht wird. Es besteht die realistische Möglichkeit, dass der Entwurf dieses Rückführgesetz deutlich vereinfacht werden kann, wenn der Ansatz wie oben beschrieben als Ausgangsrückführungsregler verwendet wird, da sich in diesem Fall die vorhandene Störung auf eine Unsicherheit im Anfangsschätzfehler reduziert. Die meisten Resultate, die für periodische Systeme entwickelt wurden, beruhen auf dem Konzept von periodisch positiv invarianten Ellipsoiden. Die Beschränkung auf Ellipsoiden ist offensichtlich restriktiv, und es wäre interessant zu untersuchen, inwiefern periodisch positiv invariante Polytope die erarbeiteten NMPC Vorfahren verbessern könnten. Hierfür existieren in der Literatur vielversprechende Ansätze. Zum Beispiel finden sich in [1, 43] Methoden zur Berechnung von positiv invarianten Polytopen für zeitinvariante Systeme. Diese Resultate wurden außerdem in [24] für ein NMPC - Verfahren für lineare periodische Systeme angewandt. Darüber hinaus interessant ist die Weiterentwicklung des Konzepts der taPKLFs für periodische Systeme mit Modellunsicherheiten und externen Störungen sinnvoll. Im Teilprojekt Robust Nonlinear Model Predictive Control via Convex Optimization des Paketantrags Optimization Based Control of Uncertain Systems, für den bei der DFG Förderung beantragt wurde, sollen für zeitinvariante Systeme Ergebnisse in dieser Richtung erzielt werden. Darauf könnte eine Erweiterung für den periodisch zeitvarianten Fall aufbauen. Im Rahmen des bearbeiteten Projekts wurde die prinzipielle Anwendbarkeit der NMPC Verfahren für periodische Systeme auf Satellitenlageregelungsprobleme nachgewiesen, siehe [3, 50] für eine teilweise Veröffentlichung dieser Ergebnisse. Jedoch wurde im Rahmen des Projekts lediglich ein linearisiertes und nominelles Modell der Satellitendynamik betrachtet. Auch wenn solche Modelle erfahrungsgemäß zu hinreichend guter Regelperformance in der realen Anwendung führen [44, 51], sollten externe Störungen, Modellunsicherheiten und Linearisierungsfehler berücksichtigt werden, um den in der Praxis üblichen Anforderungen zu genügen. In diesem Bereich wäre die Einbindung von Luft- und Raumfahrtexperten in weiterführende Forschungsprojekte wichtig.
Publications
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