K-Theory, C*-algebras and Index theory
Final Report Abstract
Im ersten Projektteil stand die Erforschung von Gruppenwirkungen auf kompakten Hausdorff-Räumen mit Mitteln der Gel’fand-Dualität im Mittelpunkt. Dementsprechend wurden bedingte Erwartungen zwischen C*-Algebren und die daraus resultierenden Hilbert-C*-Moduln mit ihren Eigenschaften Selbstdualität und C*-Reflexivität in noch unbekannten Situationen betrachtet. Im Resultat konnten Gruppenwirkungen beschrieben werden, die in der Gel’fand-dualen C*-Algebra fast-periodische Funktionen erzeugen und damit eine Mittelung über Orbits zulassen. Es wurden gleichmäßig stetige und Lyapunov-stetige Wirkungen betrachtet. Weiterhin wurde der Fall von stetigen Überdeckungen kompakter Hausdorff-Räume mit gleichmäßig beschränkter Anzahl von Urbildern betrachtet. In denen das Urbild Verzweigungspunkte enthält. Durch Untersuchung der C*-Reflexivität von Hilbert-C*-Moduln konnte ein besseres Verständnis des kommutativen Falls erreicht werden. Im folgenden Projektteil wurden wesentliche Erweiterungen von Hilbert-C*-Moduln über C*-Algebren ohne Einselement genauer untersucht. Es wurden Erkenntnisse über neue Möglichkeiten derartiger Erweiterungen und über topologische Charakterisierungen (quasi-)strikter wesentlicher Erweiterungen gewonnen. Eine Gruppe von Gegenbeispielen, die entdeckt wurde, zeigt jedoch auf, dass solche „Erweiterungen“ mitunter den Hilbert-C*-Modul auch invariant lassen können und somit keine neuen Erkenntnisse zulassen. Klassische und neu definierte modulare Schur- und Banach-Saks-Eigenschaften von Hilbert-C*-Moduln wurden untersucht. Die Klassifikation von C*-Algebren und Hilbert-C*-Moduln mit der Banach-Saks-Eigenschaft ist nunmehr abgeschlossen. Auf dem Gebiet der modularen Frames für Hilbert-C*-Moduln, und damit der Verallgemeinerungen von Kasparovs Stabilisierungstheorem, wurden Ergebnisse zu Fourierartigen Frames in Hilbert-C*-Moduln gewonnen. Die Menge der orthogonalitätserhaltenden, C*-konformen und konformen Abbildungen über Hilbert-C*-Moduln wurde strukturell abschließend bestimmt. Die Klasse der Hilbert-C*-Moduln über C*-Algebren kompakter Operatoren konnte in vielfacher Hinsicht durch Alleinstellungsmerkmale charakterisiert werden. Die Resultate der laufenden Forschung konnten in angesehenen Journalen mit hohem Impaktfaktor platziert werden. In den zwei Teilprojekten wurden wesentliche neue Erkenntnisse und Einsichten gewonnen, die zu neuen Problemstellungen führen, zugleich aber auch Gründe der Diversifikation der Vorstellungen über den Forschungsgegenstand liefern.
Publications
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- Strict essential extensions of C*-algebras and Hilbert C*- modules. J. Operator Theory 64(2010), 101-114
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- Errata on "Banach-Saks properties of C*-algebras and Hilbert C*-modules". Banach J. Math. Anal. 5(2011), 94-100
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(See online at https://doi.org/10.1016/j.jfa.2010.10.009)
