Sinai-Ruelle-Bowen Maße, Phasenübergänge und Fluktuationen in Systemen gekoppelter Abbildungen (Coupled map lattices)
Final Report Abstract
Das Projekt hatte zwei thematische Schwerpunkte: A) Lokal gekoppelte chaotische und stochastische Systeme Die von Keller und Liverani eingeführte Transfer-Operator-Methode zur Untersuchung gekoppelter Systeme auf Zd wurde in verschiedene Richtungen erweitert: 1) Die Beschreibung des verwendeten Banachraums und einige Abschätzungsmethoden wurden verfeinert, so dass nicht nur exponentielle Mischungseigenschaften bewiesen werden können (die zu einem Zentralen Grenzwertsatz führen), sondern dass auch die Untersuchung von Fourier-Transfer-Operatoren und damit der Nachweis eines Lokalen Grenzwertsatzes möglich wurden. • 2) Die Anwendbarkeit der Technik wurde von den üblichen schwach gekoppelten Systemen auf Systeme mit seltenen starken Kopplungen erweitert. 3) Das große Potentialder Methode auch hei stochastischen Modellen wurde an einem fast sicheren Zentralen Grenzwertsatz für Irrfahren in schwach interagierender Markovscher Umgebung demonstriert. B) Global gekoppelte Systeme chaotischer Intervallabbildungen Ein Beispiel-System, dessen nichtlinearer selbstkonsistenter Frobenius-Perron- Operator (SCFPO) je nach Stärke der Kopplung genau einen oder genau drei Fixpunkte hat, die jeweils die einzigen Omega-Limiten des Operators sind, wurde (fast) komplett analysiert. Insbesondere der Phasenübergang bei der kritischer Kopplungsstärke, der sich im Verhalten des SCFPO als Pitchfork- Verzweigung ausdrückt, wurde im Detail beschrieben. Darauf aufbauend wurden Größe-Abweichungen in der Systemgröße bei fester Zeit untersucht, indem die Ratenfunktionen im Limes großer Zeit durch asymptotische dynamische Eigenschaften des SCFPO beschrieben wurden.
Publications
- Limit theorems lor coupled interval maps,
Stochastics and Dynamics 7 (2007), 17-36.
J.-B. Bardet, S. Gouezel, G. Keller
- Liverani, Random walk in Markovian environment,
Annals of Probability 36 (2008), 1676-1710.
D. Dolgopyat, G. Keller, C. Liverani
- Map lattices coupled by collisions, Communications in
Mathematical Physics 291 (2009), 591-597, DOI:10.1007/s00220-009-0835-z.
G. Keller, C. Liverani
(See online at https://doi.org/10.1007/s00220-009-0835-z) - Rare events, escape rates and quasistationarity: some exact
formulae, Journal of Statistical Physics 135 (2009), 519-534.
G. Keller, C. Liverani
- Stochastically stable globally coupled maps
with bistable thermodynamic limit. Communications in Mathematical Physics
(2009), DOI 10.1007/S00220-009-0854-9.
J.-B. Bardet, G. Keller, R. Zweimüller
(See online at https://doi.org/10.1007/S00220-009-0854-9)
