Besov Regularität von parabolischen partiellen Differentialgleichungen auf Lipschitz Gebieten

• Antragstellerin: Privatdozentin Dr. Cornelia Schneider
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2016 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 320243287

In diesem Projekt sollen partielle Differentialgleichungen (=DGLen) parabolischen Typs auf beschränkten Lipschitz Gebieten untersucht werden. Wir wollen insbesondere den Nutzen von adaptiven numerischen Methoden zur Behandlung von solchen Gleichungen belegen. In adaptiven Verfahren ist die Wahl der zugrunde liegenden Freiheitsgrade nicht a priori festgelegt, sondern hängt von der Gestalt der unbekannten Lösung ab. Zusätzliche Freiheitsgrade werden nur dort verwendet, wo die numerische Approximation noch sehr weit von der tatsächlichen Lösung abweicht. Optimal für ein adaptives Verfahren wäre das Realisieren der Konvergenzrate der besten N-term Approximation (beste Approximation der Lösung mittels Linearkombinationen von höchstens N Basisfunktionen). Diese Konvergenzordnung hängt eng mit der Regularität der Lösung in speziellen Skalen von Besovräumen zusammen. Unser Ziel ist daher die Untersuchung der Besovregularität von Lösungen parabolischer DGLen, welche uns Aufschluss darüber gibt, ob sich adaptive Verfahren tatsächlich auszahlen. Im ersten Finanzierungszeitraum des Projektes konnte gezeigt werden, dass sich Adaptivität für sehr allgemeine Klassen von linearen und nichtlinearen parabolischen DGLen auszahlt. Noch bessere Regularitätsergebnisse erhielten wir für polyhedrale Kegel (statt allgemeiner Lipschitz Gebiete). Während der Fortsetzung des Projektes sollen diese Ergebnisse nun verbessert und weiter ausgebaut werden. Die Resultate für Kegel wollen wir auf allgemeine polyhedrale Gebiete verallgemeinern. Darüber hinaus gelten die nichtlinearen Ergebnisse zur Besovregularität bisher nur für konvexe Gebiete. Da nicht-konvexe Gebiete aus numerischer Sicht besonders interessant sind, ist es unser Ziel hier analoge Aussagen zu zeigen. Auch soll nun die Regularität der Lösungen in Sobolevräumen mit gebrochener Glattheit untersuchet werden, insbesondere auch für stochastische parabolische DGLen, welche uns Erkenntnisse über die mögliche Konvergenzordnung nicht-adaptiver Verfahren liefert. Des Weiteren wollen wir Besov Regularität von DGLen auf allgemeinen Mannigfaltigkeiten (z.B. Oberflächen von Seifenfilmen) studieren. Einen neuen Aspekt stellt die Untersuchung von Approximationsklassen von parabolischen DGLen dar. Ziel ist hier eine Konvergenzanalyse der horizontalen Linienmethode (Rothe-Methode), wenn die Zeitdiskretisierung über ein Galerkin-Verfahren erfolgt.Statt eines Zeitschritt-Verfahrens (wie oben beschrieben) kann man zur numerischen Lösung der parabolischen DGLen auch ein (effizienteres) voll-adaptives Verfahren basierend auf Tensor-Wavelets benutzen. Die hieraus resultierende Konvergenzordnung ist dann unabhängig von der Raumdimension und hängt von der Regularität der Lösung in speziellen Tensor-Produkt-Besovräumen ab. Wir werden systematisch untersuchen, wie sich die Regularität der Lösung in diesen komplizierten Räumen mit gemischter Glattheit verhält.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen