Elastische Knoten

• Antragsteller: Professor Dr. Philipp Reiter
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2018
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 289032105

Das Gesamtthema dieses Projektes besteht in der Charakterisierung von Gleichgewichtsformen verknoteter Schleifen aus elastischem Draht in verschiedenen Modellen.In einem ersten einfachen Ansatz gehen wir davon aus, dass das Verhalten dieser verknoteten Schleifen nur durch die Biegeenergie der Mittellinie bestimmt wird, womit wir andere Kräfte wie Ausdehnung, Torsion und Scherung außer Acht lassen. Dies bedeutet, dass die Schleife einen Gleichgewichtszustand einnimmt, der einem Minimum der Biegeenergie in der entsprechenden Isotopieklasse entspricht. Die Regularisierung durch den Kehrwert der Dicke wirkt wie ein Auswahlkriterium, das aus der potentiell unendlichen Familie von Biegeenergie-Minimierern eine Lösung heraushebt. Diese wird als elastischer Knoten bezeichnet. Wir möchten allgemeine elastische Torusknoten charakterisieren, wofür eine Verallgemeinerung des Satzes von Fáry und Milnor erforderlich ist.Später werden wir auf Grundlage der speziellen Cosserat-Theorie undehnbarer und unscherbarer Stäbe torsionale Effekte in unser Modell einbeziehen. Dies führt auf verdrehte elastische Stäbe. Wir werden zeigen, dass verdrehte elastische Kleeblattschleifen aus zwei runden Kreisen bestehen, die sich tangentiell in einem Punkt treffen, und dieses Resultat auf andere Knotenklassen übertragen. Im Gegensatz zu den meisten Ansätzen in der Literatur werden wir analytisch rigorose Resultate ohne Anfangsbedingungen an die Geometrie des Problems herleiten können.Der dritte Teil dieses Projektes umfasst die Entwicklung eines Visualisierungs-Programms. Stand der Forschung ist Simulated annealing, ein robustes, aber ineffizientes Verfahren. Wir möchten unter Ausnutzung der Struktur des Problems einen effizienten Algorithmus auf Basis des Gradientenflusses herleiten, der die Simulation sowohl elastischer wie auch verdrehter elastischer Knoten gestattet.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen