Tutte Polynome von Arrangements vom Ideal Typ

• Antragsteller: Professor Dr. Gerhard Röhrle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 286916001

Die Theorie der Hyperebenenarrangements ist seit vielen Jahrzehnten eine treibende Kraft in der Mathematik. Sie liegt an der Schnittstelle von Algebra, Kombinatorik und algebraischer Geometrie. Dieser Forschungsantrag betrifft diese Aspekte im Zusammenhang mit algebraischer Lie-Theorie.Eine wesentliche Motivation in dem Studium von Arrangemements stammt von Coxeter-Arrangements. Während diese hinreichend gut verstanden sind, gilt dies keineswegs für deren Unterarrangements. Bei diesem Forschungsvorhaben konzentrieren wir uns auf eine bestimmte Klasse von Arrangements, die zu einem Ideal in der Menge der positiven Wurzeln eines Wurzelsystems einer Weyl-Gruppe W assoziiert sind; sogenannte Arrangements vom Ideal Typ, die von Sommers und Tymoczko in 2006 definiert und untersucht wurden.Wir verfolgen zwei Forschungsprojekte, die auf zwei Vermutungen von Sommers und Tymoczko basieren.Die erste dieser Vermutungen betrifft eine multiplikative Formel für das Poincare Polynom der Teilmengen von Weyl Typ eines Ideals, welche die bekannte Faktorisierung des Poincare Polynoms der zugrundeliegenden Weyl-Gruppe W verallgemeinert. Sommers und Tymoczko konnten diese Faktorisierung für Wurzelsysteme vom Typ A, B, C, G2, F4 und E6 beweisen.Die Vermutung ist ist nach wie vor offen fuer Typ D, E7 und E8. Wir beschreiben einen einheitlichen Zugang zu dieser Vermutung. Indem wir diese im Zusammenhang von erzeugenden Funktionen von Posets der Kammern der zugrundeliegenden Arrangements interpretieren, erreichen wir mit Induktion nach dem Rang von W eine Reduktion auf den Fall, dass die betrachteten Ideale keine einfachen Wurzeln enthalten. Die weitere Analyse erfolgt mit Induktion nach der Kardinalität der Ideale.Das zweite Forschungsprojekt basiert auf einer anderen Vermutung von Sommers und Tymoczko. Diese betrifft die Freiheit der Arrangements vom Ideal Typ. Für den Fall klassischer Gruppen und im Typ G2 konnten Sommers-Tymoczko zeigen, dass diese Arrangements immer frei sind. Der allgemeine Fall wurde erst jüngst in einem uniformen Beweis von Abe, Barakat,Cuntz, Hoge und Terao vollständig gelöst. Dieses Resultat verallgemeinert die berühmte Formel von Shapiro-Steinberg-Kostant, die besagt, dass die duale Partition zu der Partition der Höhen der positiven Wurzeln der Weyl-Gruppe W gerade die Exponenten von W sind. Wir wollen in diesem Zusammenhang stärkere Freiheitsbegriffe für die Arrangements vom Ideal Typ untersuchen. Es ist bekannt, dass die Spiegelungsarrangements einer Weyl-Gruppe immer schon induktiv frei sind. Es ist sehr wahrscheinlich, dass dies auch für die Arrangements vom Ideal Typ der Fall ist. Wir beschreiben einen induktiven Zugang zu dieser Frage vermöge Induktion über den Rang von W.Diese neuen Resultate für Hyperebenenarrangements liefern auch neue Einsichten in die Geometrie von gewissen Untervarietäten der Fahnenvarietät einer komplexen reduktiven algebraischer Gruppe G mit Weyl-Gruppe W, sogenannte Hessenberg-Varietäten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen
• Kooperationspartner: Professor Dr. Michael Cuntz