Dynamik transzendenter Funktionen mit entkommenden singulären Orbits und unendlich-dimensionale Teichmüller-Theorie

• Antragsteller: Professor Dr. Dierk Schleicher
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2015 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 274553393

Eine der fundamentalen Fragestellungen in der Theorie dynamischer Systeme ist die Bestimmung, welche Systeme äquivalent sind, wie man sie unterscheiden kann und wie sich die unterschiedlichen Systeme klassifizieren lassen. Dieser allgemeinen Fragestellung soll im Rahmen der Dynamik iterierter transzendenter Abbildungen nachgegangen werden; Ziel dieses Projektes ist die Untersuchung der Dynamik bestimmter iterierter transzendenter ganzer Funktionen von endlichem Typ (also mit endlich vielen kritischen oder asymptotischen Werten) mit der Eigenschaft, dass alle kritischen und asymptotischen Werte unter Iteration nach unendlich konvergieren. Die Orbits der kritischen und asymptotischen Werte bilden eine diskrete Punktmenge P, die sich nur bei unendlich häuft. Für geeignete Familien ganzer Funktionen endlichen Typs sollten die Kombinatorik und Asymptotik dieser Punkte eine vollständige Klassifikation der entsprechenden ganzen Funktionen erlauben. Eine mögliche Erweiterung bezieht sich auf solche transzendente Abbildungen endlichen Typs, bei denen alle kritischen und asymptotischen Orbits entweder (wie oben) gegen unendlich konvergieren oder (vor-)periodisch sind (oder evtl. gegen attraktive Zyklen konvergieren). Wesentliches Hilfsmittel der Untersuchung wird die Theorie der (unendlich-dimen-sionalen) Teichmüller-Räume, die nach dem Komplement von P in der Riemann-Sphäre modelliert sind. Hierzu wird es notwendig sein, den auch "Fundamentalsatz der Komplexen Dynamik'' genannten Satz von Thurston über postkritisch endliche rationale Abbildungen, der endlich-dimensionale Teichmüller-Theorie benutzt, auf einen unendlich-dimensionalen Kontext zu übertragen, sowie von rationalen auf transzendente Abbildungen (d.h. von endlichem auf unendlichen Abbildungsgrad).

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen