Holonomic D-Modules on Abelian Varieties
Final Report Abstract
Das Studium algebraischer Differentialgleichungen im Rahmen perverser Garben und (allgemeiner) holonomer D-Moduln bildet ein zentrales Bindeglied zwischen Geometrie, Topologie, Analysis und Hodgetheorie. Das hier dargestellte Projekt ist Teil eines längerfristigen Programms mit dem Ziel, diese Techniken in Bezug zu klassischen Fragen der algebraischen und arithmetischen Geometrie zu setzen. Eine Motivation dafür bilden die darstellungstheoretische Beschreibung l-adischer perverser Garben auf Tori von Gabber und Loeser und die Arbeiten von Katz und Dettweiler über rigide lokale Systeme und Sato-Tate-Distributionen. Die Grundlage dieser Arbeiten ist das Studium von Faltungsprodukten auf multiplikativen Gruppen. Analog hat man auf komplexen abelschen Varietäten A ein von der Addition induziertes Faltungsprodukt, sodass die Faltungen jedes holonomen DA-Moduls M eine neutrale Tannaka-Kategorie ⟨M⟩ erzeugen: Es gibt eine bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte komplexe lineare algebraische Gruppe G = G(M) und eine Äquivalenz ⟨M⟩ → Rep(G) mit der Tensorkategorie der endlich-dimensionalen komplexen algebraischen Darstellungen von G, wobei das Faltungsprodukt auf der linken Seite sich in das gewöhnliche Tensorprodukt von Darstellungen übersetzt. In dem Projekt wurden die Tannakagruppen G(M) und ihre Darstellungen für holonome DA-Moduln M aus verschiedenen Blickwinkeln analysiert. Im Fall halbeinfacher Moduln sind diese Gruppen reduktiv, und die Arbeiten von Schnell über die Fourier-Mukai Transformation führen auf eine Interpretation als minimale reduktive Strukturgruppen gewisser Prinzipalbündel. Als Korollar erhält man einen einfachen Beweis der von Weissauer im l-adischen Kontext gemachten Beobachtung, dass die Zusammenhangskomponenten von G(M) eine endliche abelsche Gruppe in Dualität zu einer endlichen Gruppe von Punkten der abelschen Varietät bilden. Das Hauptresultat des Projektes ist eine mikrolokale Konstruktion multiplikativer Untergruppen in G(M) mittels des charakteristischen Zykels CC(M ), einer endlichen formalen Summe konischer Lagrangescher Untervarietäten des Kotangentialbündels T ∗ A. Dies kann als eine kategorifizierte Version der Dubson-Kashiwara Indexformel verstanden werden und erlaubt es, die Gewichtsraumzerlegung von Darstellungen und die Operation der Weylgruppe mittels Gaussabbildungen zu verstehen. Die im Projekt gewonnenen fundamentalen neuen Einsichten in die Natur der Gruppen G(M) lassen die bisher bekannten geometrischen Beispiele in neuem Licht erscheinen und ebnen den Weg für weiterführende Anwendungen in der komplexen algebraischen Geometrie, insbesondere Singularitäten von Thetadivisoren, das Schottky-Problem und die Moduli abelscher Varietäten.
Publications
- Characteristic cycles and the microlocal geometry of the Gauss map (39 Seiten, April 2016)
Thomas Krämer
- Cubic threefolds, Fano surfaces and the monodromy of the Gauss map, Manuscripta Math. 149 (2016) 303-314
Thomas Krämer
(See online at https://doi.org/10.1007/s00229-015-0785-z)
