Algebraische Zykel und koisotrope Untervarietäten irreduzibel symplektischer Mannigfaltigkeiten

• Antragsteller: Professor Dr. Christian Lehn
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2021
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 269045579

Dieses Forschungsprojekt befasst sich mit einem zentralen Gebiet der algebraischen Geometrie, auf dem zur Zeit sehr aktiv geforscht wird: algebraische Zykel auf irreduzibel (holomorph) symplektischen Mannigfaltigkeiten. Wir verfolgen hauptsächlich Fragestellungen zu den beiden folgenden, eng miteinander verbundenen Themengebieten: zum einen die Frage nach der Existenz von algebraisch koisotropen Untervarietäten irreduzibel symplektischer Mannigfaltigkeiten, zum anderen das Spalten von Filtrierungen vom Bloch-Beilinson Typ auf dem Chow Ring einer projektiven irreduzibel symplektischen Mannigfaltigkeit.Unser Projekt ist durch einige bemerkenswerte Vermutungen über die Struktur des Chow Rings einer projektiven irreduzibel symplektischen Mannigfaltigkeit motiviert, welche Claire Voisin kürzlich aufgestellt hat. Sie hat ein weitreichendes Programm von Vermutungen aufgezeichnet, in dem algebraisch koisotrope Untervarietäten und Null-Zykel eine besondere Rolle spielen. Die Vermutungen bestechen durch ihre Eleganz und ihr Beweis wäre ein Meilenstein im Verständnis algebraischer Zykel auf irreduzibel symplektischen Mannigfaltigkeiten. Ferner ist die durch sie suggerierte Herangehensweise für die Beantwortung Chow-theoretischer Fragen sehr explizit und die Fortschritte der letzten Jahre auf dem Gebiet der Hyperkählertheorie eignen sich sehr gut für Anwendungen dieser Art, sodass es ein guter Moment dafür zu sein scheint, ein entsprechendes Forschungsvorhaben anzugehen, um auf dem Gebiet der algebraischen Zykel Fortschritte zu erzielen. Voisins Vermutungen wurden in einigen Beispielen verifiziert, es sind aber vergleichsweise wenig allgemeine Resultate bekannt.Ziel dieses Forschungsprojekts ist es, durch allgemeine deformationstheoretische Methoden einen wesentlichen Beitrag zu der Frage nach der Existenz spezieller algebraischer Zykel auf irreduzibel symplektischen Mannigfaltigkeiten zu leisten sowie weiterführendere Probleme das Spalten der (vermuteten) Bloch-Beilinson Filtrierung betreffend für eine konkrete maximal algebraische Familie irreduzibel symplektischer Mannigfaltigkeiten entscheidend voranzubringen.Ein vollständiger Beweis der Voisinschen Vermutungen ist jedoch außer Reichweite, wesewegen das Langzeitziel unserer Methoden ein Beweis derselben für alle bekannten Deformationstypen irreduzibel symplektischer Mannigfaltigkeiten sein sollte.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen