GRK 2131:  High-dimensional Phenomena in Probahility - Fluctuations and Discontinuity

• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2015 to 2020
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 265592081

• Final Report Year: 2022

Final Report Abstract

Die zentrale Forschungsidee des GRKs war die Untersuchung von Phänomenen hoher Dimensionen bei einer Vielzahl von Strukturen der modernen Stochastik. Die Hochdimensionalität bezog sich hierbei einerseits auf das Vorhandensein vieler verschiedener und miteinander interagierender Komponenten, oder war andererseits mit hohen Raumdimensionen verbunden. Die Leitfrage war, ob sich bei hoher Dimension universelle Strukturen herausbilden und/oder Phasenübergange vorliegen. Die Innovation der Forschungsidee lag in der Bündelung der Fragestellungen zu hohen Dimensionen bei einer Vielzahl unterschiedlicher Objekte der Stochastik und der Fokussierung auf verbindende Methoden. Die Malliavin-Stein-Methode wurde als eine methodische Klammer identifiziert. Der wissenschaftliche Ertrag der Forderung ist messbar durch die thematische Vernetzung, durch viele gemeinsame Projekte, durch über 160 Gaste des GRKs sowie durch Veröffentlichungen und Preprints der Mitglieder des GRKs. In (Ko-)Autorenschaft von Kollegiat(inn)en des GRKs sind 171 Publikationen und sonstige Arbeiten entstanden. Die zentrale Forschungsidee der Untersuchung von Phänomenen hoher Dimensionen wurde im Rahmen der GRK-Projekte in drei Projektbereichen adressiert. Im Zentrum standen die Untersuchung von Dualitätsrelationen fur Vielteilchensysteme, von Operatoren auf zufälligen geometrischen Objekten und von Konzentrationsphänomenen. Wachsende Dimensionen bei Zufallspolynomen, Zufallsmatrizen und integrablen Systemen sowie die Untersuchung von Querverbindungen zwischen stochastischer Geometrie und geometrischer Analysis unterstreichen einen stattfindenden Perspektivwechsel in den adressierten Forschungsbereich. Weiter wurden aktuelle Entwicklungen in der Untersuchung von Phänomenen hoher Dimensionen in der mathematischen Statistik in den Fokus genommen. Es erfolgte die Untersuchung von graphischen Modellen für hochdimensionale Daten. Technisch aufwendige Untersuchungen führten zu wichtigen Resultaten, etwa bei der Herleitung von Konvergenzraten von Diffusionen und bei Eigenschaften verschiedener Modelle zufälliger Polytope und Momentenräumen (hochdimensionale Geometrie), bei Markov-Prozessen auf Weyl-Kammern und Spinmodellen auf Baumgraphen und dynamischen Versionen von Meanfield Modellen. Methodisch konnte in Projekten eindrucksvoll die Kraft der Malliavin-Stein-Methode demonstriert werden: so wurden z.B. für innere Volumina zufälliger Polytope mit Malliavin-Stein Konvergenzraten mit expliziter Dimensionsabhängigkeit hergeleitet, es konnten optimale 4-Momente-Theoreme im 2.ten Wiener Chaos bewiesen werden und für von fraktionalen Wellengleichungen getriebenen stochastischen Differentialgleichungen die Herleitung von Grenzwertsätzen und Konvergenzraten mittels Malliavin-Stein erfolgen. Die Untersuchung von Kumulanten hat zu einer Weiterentwicklung der zentralen Forschungsidee geführt. Es wurden optimale Kumulantenabschätzungen für Grenzwertsatze und moderate Abweichungen bei Gaußschen Polynomen und Volumina von zufälligen Simplizes sowie optimale Kumulantenabschätzungen für Zufallsmatrizen-Ensemble und bei zufälligen Momentenräumen hergeleitet. Die Steinsche Methode war eine weitere Brücke in Projekten der statistischen Mechanik. So wurden Modifikationen von Curie-Weiss Modellen erfolgreich untersucht. Große Abweichungen bildeten eine weitere methodische Klammer bei der Untersuchung von Momentenräumen und Zufallsmatrizen-Ensemblen, bei zufälligen Simplizes und bei der Untersuchung dynamischer Varianten der Klasse der Curie-Weiss(-Potts) Modelle.

Publications

• Ising critical behavior of inhomogeneous Curie-Weiss models and annealed random graphs; Comm. Math. Phys. 348 (2016), 221-263
  S. Dommers, C. Giardina, C. Giberti, R. van der Hofstad und M. L. Prioriello
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  R. C. Kraaij, F. Redig und W. B. van Zuijlen
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1711.03489)
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  S. Dommers, C. Külske und P. Schriever
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.spa.2017.03.009)
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  F. Collet und R. C. Kraaij
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.spa.2017.01.002)
• Flux large deviations of weakly interacting jump processes via well-posedness of an associated Hamilton-Jacobi equation (2017)
  R. C. Kraaij
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1711.00274)
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  H. Dette und D. Tomecki
  (See online at https://doi.org/10.1007/s10959-016-0699-z)
• Metastability for Glauber dyna­mics on random graphs, Ann. Appl. Probab. 27 (2017), 2130-2158
  S. Dommers, F. den Hollander, O. Jovanovski und F. R. Nardi
  (See online at https://doi.org/10.1214/16-AAP1251)
• Metastability in the reversible inclusion process ; Electron. J. Probab. 22 (2017), article 70
  A. Bianchi, S. Dommers und C. Giardinä
  (See online at https://doi.org/10.1214/17-EJP98)
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  S. Dommers
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00440-015-0682-0)
• Monotonicity of facets numbers of random convex hulls; J. Math. Analysis Appl. 455 (2017), 1351-1364
  G. Bonnet, J. Grote, D. Temesvari, C. Thale, N. Turchi und F. Wespi
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2017.06.054)
• A generator approach to stochastic monotonicity and propagation of order (2018)
  R. C. Kraaij und M. Schauer
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1804.10222)
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  J. Grote und E. Werner
  (See online at https://doi.org/10.1214/17-EJP131)
• Asymptotic behavior of weighted power variations of fractional Brownian motion in Brownian time; J. Theoret. Probab. 31 (2018), 1539-1598
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  (See online at https://doi.org/10.1007/s10959-017-0749-1)
• Asymptotics for Random Moment Sequences; Dissertation Ruhr Universitat Bochum (2018)
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• Concentration and moderate deviations for Poisson polytopes and polyhedra; Bernoulli 24 (2018), 2811-2841
  J. Grote und C. Thale
  (See online at https://doi.org/10.3150/17-BEJ946)
• Deriving GENERIC from a generalized fluctuation symmetry; J. Stat. Phys. 170 (2018), 492-508
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  (See online at https://doi.org/10.1007/s10955-017-1941-5)
• Existence and uniqueness properties for solutions ofa class of Banach space valued evolution equations (2018)
  A. Jentzen, S. Mazzonetto und D. Salimova
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1812.06859)
• Gaussian polytopes: a cumulant-based approach; J. Complexity 47 (2018), 1-41
  J. Grote und C. Thale
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.jco.2018.03.001)
• Large deviations for the annealed Ising model on inhomogeneous random graphs: spins and degrees; J. Stat. Phys. 173 (2018), 1045­1081
  S. Dommers, C. Giardina, C. Giberti und R. van der Hofstad
  (See online at https://doi.org/10.1007/s10955-018-2027-8)
• Large deviations of the trajectory of empirical distributions of Feller processes on locally compact spaces; Ann. Probab. 46 (2018), 775-828
  R. C. Kraaij
  (See online at https://doi.org/10.1214/17-AOP1192)
• Large scale asymptotics for random convex hulls; Dissertation Ruhr-Universitat Bochum
  J. Grote
  
• Limit theorems for Hilbert-space valued linear processes under long-range de­pendence; Stochastic Process. Appl 128 (2018), 1439-1465
  M.-C. Düker
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.spa.2017.07.015)
• Limit theorems for random polytopes with vertices on convex surfaces; Adv. in Appl. Probab. 50 (2018), 1227-1245
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  (See online at https://doi.org/10.1017/apr.2018.58)
• On the Ito-Alekseev-Grobner for­mula for stochastic differential equations (2018)
  A. Hudde, M. Hutzenthaler, A. Jentzen und S. Mazzonetto
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1812.09857)
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  A. Hudde, M. Hutzenthaler, A. Jentzen und S. Mazzonetto
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1812.09857)
• On the rate of convergence to a Gamma distri­bution on Wiener space (2018)
  E. Azmoodeh, P. Eichelsbacher und L. Knichel
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1806.03878)
• Path-space moderate deviation principles for the random field Curie-Weiss model; Electron. J. Probab. 23 (2018), article 21
  F. Collet und R. C. Kraaij
  (See online at https://doi.org/10.1214/17-EJP117)
• Path-space moderate deviations for the Curie-Weiss model of self-organized criticality (2018)
  F. Collet, M. Gorny und R. C. Kraaij
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1801.08840)
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  C. Thale, N. Turchi und F. Wespi
  (See online at https://doi.org/10.1090/proc/14000)
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  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1809.01937)
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  D. Nualart und R. Zeineddine
  (See online at https://doi.org/10.31390/cosa.12.1.04)
• Universal scaling limits for generalized gamma polytopes (2018)
  J. Grote
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1808.09779)
• Universality in Random Moment Problems; Electron. J. Probab. 23 (2018), article 15
  H. Dette, D. Tomecki und M. Venker
  (See online at https://doi.org/10.1214/18-EJP141)
• A stochastic Gronwall inequality and applica­tions to moments, strong completeness, strong local Lipschitz continuity, perturbations (2019)
  A. Hudde, M. Hutzenthaler und S. Mazzonetto
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1903.08727)
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  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1903.08727)
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  M.-C. Düker und V. Pipiras
  (See online at https://doi.org/10.1109/CAMSAP45676.2019.9022642)
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  S. Dommers und P. Eichelsbacher
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.spa.2019.02.007)
• Classical large deviations theorems on complete Riemannian manifolds, Stochastic Process. Appl. (2019)
  R. C. Kraaij, F. Redig und R. Versendaal
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.spa.2018.11.019)
• Concentration inequalities for functionals of Poisson cylinder processes (2019)
  A. Baci, C. Betken, A. Gusakova und C. Thale
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1908.02112)
• Determinants of block Hankel matrices for random matrix-valued measures; Stochastic Process. Appl (2019)
  H. Dette und D. Tomecki
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.spa.2019.02.010)
• Dynamical Gibbs-non-Gibbs transitions in Curie-Weiss Widom-Row- linson models; Markov Prosess. Related Fields 25 (2019), 379-413
  S. Kissel und C. Külske
  
• Dynamical Gibbs-non-Gibbs transitions in lattice Widom-Rowlinson models with hard-core and soft-core interactions (2019)
  S. Kissel und C. Külske
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1903.09815)
• Existence of spatially differentiable solutions of stochastic differential equations with non-globally monotone coefficient functions (2019)
  A. Hudde, M. Hutzenthaler und S. Mazzonetto
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1903.09707)
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  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1903.09707)
• Existence, uniqueness, and numerical approximations for sto­chastic Burgers equations (2019)
  S. Mazzonetto und D. Salimova
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1901.09288)
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  (See online at https://doi.org/10.13154/294-6339)
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  R. C. Kraaij, A. Lazarescu, C. Maes und M. Peletier
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.spa.2019.02.001)
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  J. Prochno, C. Thale und N. Turchi
  (See online at https://doi.org/10.1007/978-3-030-26391-1_9)
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  F. Henning, R. C. Kraaij und C. Külske
  (See online at https://doi.org/10.3150/18-BEJ1045)
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• Hard-Core and Soft-Core Widom-Rowlinson models on Cayley trees; J. Stat. Mech. Theory Exp. (2019)
  S. Kissel, C. Külske und U.A. Rozikov
  (See online at https://doi.org/10.1088/1742-5468/ab081e)
• High-dimensional asymptotics for random polytopes; Dissertation Ruhr-Universitat Bochum (2019)
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  (See online at https://doi.org/10.13154/294-6350)
• Limit theorems for multipower variation of Levy driven and fractional-Levy-motion driven processes; Dissertation TU Dortmund (2019)
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  (See online at https://doi.org/10.17877/DE290R-20093)
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  A. Pessik
  (See online at https://doi.org/10.17877/DE290R-20093)
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  (See online at https://doi.org/10.30757/ALEA.v16-06)
• Limit theorems on non-compact Grassmannians with growing dimension; Dissertation TU Dortmund (2019)
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  (See online at https://doi.org/10.17877/DE290R-20216)
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• On the Ito-Alekseev-Grobner formula for stochastic differentail equations; Dissertation Universität Duisburg-Essen (2019)
  A. Hudde
  (See online at https://doi.org/10.17185/duepublico/70569)
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• Optimal Gamma approximation on Wiener space (2019)
  E. Azmoodeh, P. Eichelsbacher und L. Knichel
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.1902.02658)
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• Concentration inequalities for functionals of Poisson cylinder processes; Electron J. Probab. 25, article 128 (2020)
  A. Baci, C. Betken, A. Gusakova und C. Thale
  (See online at https://doi.org/10.1214/20-EJP529)
• Dynamical Gibbs-non-Gibbs transitions in lattice Widom-Rowlinson models with hard-core and soft-core interactions; J. Stat. Phys 178 (2020), 725-762
  S. Kissel und C. Külske
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  M.-C. Düker
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.spa.2020.03.011)
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  H. Dette, D. Tomecki und M. Venker
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  C. Külske und D. Meißner
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  M. Artikov und M. Voit
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  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.2012.09718)
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• Fine asymptotics for models with Gamma type moments; in Random Matrices Theory Appl., (2021)
  P. Eichelsbacher und L. Knichel
  (See online at https://doi.org/10.1142/S2010326321500076)
• Limit theorems and soft edge of freezing random matrix models via dual orthogonal polynomials. J. Math. Phys. 62 (2021), 083303
  S. Andraus, K. Hermann und M. Voit
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• Limit theorems for Jacobi ensembles with large parameters. Tunisian J. Math. 3-4 (2021), 843-860
  K. Hermann und M. Voit
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  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.2107.10036)
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  (See online at https://doi.org/10.1016/j.neunet.2021.04.034)
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  (See online at https://doi.org/10.1016/j.aam.2021.102218)
• The volume of simplices in high-dimensional Poisson-Delaunay tessellations; Ann. H. Lebesgue 4, 121-153 (2021)
  A. Gusakova und C. Thale
  (See online at https://doi.org/10.5802/ahl.68)
• Asymptotic Behaviour of the Empirical Distance Correlation for Dependent Data; Journal of Theoretical Probability 35 (2022), 1226-1246
  M. Kroll
  (See online at https://doi.org/10.1007/s10959-021-01073-w)
• Cotrending: Testing for common deterministic trends in varying means model; Journal of Multivariate Analysis; 187 (2022), paper 104825
  M.-C. Düker, V. Pipiras und R. Sundararajan
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.jmva.2021.104825)
• Likelihood ratio tests under model misspecification in high dimensions (2022)
  N. Dornemann
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.2203.05423)
• Limit theorems for random points in a simplex; in J. App. Probab. (2022)
  A. Baci, Z. Kabluchko, J. Prochno, M. Sonnleitner und C. Thale
  (See online at https://doi.org/10.1017/jpr.2021.77)
• Statistical Guarantees for Approximate Stationary Points of Simple Neural Networks (2022)
  M. Taheri, Xie, F. and Lederer, J.
  (See online at https://doi.org/10.48550/arXiv.2205.04491)
• Weak convergence of the intersection point process of Poisson hyperplanes; Ann. Inst. H. Poincare (2022)
  A. Baci, G. Bonnet und C. Thäle
  (See online at https://doi.org/10.1214/21-AIHP1201)