Lokale Bifurkationsanalysis und globale numerische Pfadverfolgung für Turingmuster in 3D Reaktions--Diffusions--Systemen

• Antragsteller: Professor Dr. Hannes Uecker
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2019
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 264671738

Turing-Muster sind Lösungen partieller Differentialgleichungen, die durch die Instabilität einer homogenen stationären Lösung gegenüber gewissen räumlich periodischen Störungen entstehen, bei gleichzeitiger Stabilität der Lösung gegenüber räumlich homogenen Störungen. Die ursprüngliche Modellierung war motiviert durch Musterbildung in der embryonalen Entwicklung. Turing-Muster treten jedoch in der Natur in einer Vielzahl von Systemen auf, und dementsprechend auch in einer Vielzahl partieller Differentialgleichungsmodelle. In einer oder zwei Raumdimensionen ist die lokale Theorie hierzu gut ausgebaut, und verschiedene Turing-Muster können nahe der Instabilität gut durch Amplitudengleichungen vorhergesagt werden, sowie auf verschiedene Weisen numerisch berechnet werden. Viele Systeme sind jedoch räumlich echt dreidimensional (3D), und in 3D wird die Theorie wesentlich komplizierter und ist weit weniger entwickelt, und auch numerische Berechnungen von Turing Mustern in 3D liegen bislang nur vereinzelt und wenig systematisch vor. Ziel dieses Projektes ist es, in Kombination von Analysis und Numerik Methoden bereit zu stellen, die es erlauben, die Verzweigung von 3D Turing-Mustern systematisch zu untersuchen. Neben der lokalen Theorie nahe Bifurkationen aus homogenen Lösungen soll dabei auch ein globalerer Ansatz verfolgt werden. Hierzu soll das bestehende 2D Programmpaket pde2path zu 3D ausgebaut werden, wozu schon Vorarbeiten erfolgt sind, um Zweige von Turing-Mustern auch weiter entfernt vom Bifurkationspunkt zu untersuchen, sowie ihre sekundären und höheren Verzweigungen, inklusive hetero--und homokliner Verbindungen zwischen verschiedenen Mustern.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen