Nonlinear Schroedinger systems with saturation effect and Willmore boundary value problem
Final Report Abstract
In meinem Forschungsprojekt untersuchte ich nichtlineare Schrödinger-Systeme, die zur Beschreibung der Wellenausbreitung in nichtlinearen gesättigten Materialien verwendet werden. Mit Hilfe variationeller Methoden konnte ich beweisen, dass die nichttrivialen Lösungen geringster Energie ("Grundzustände") fast immer semitrivial sind. In die Physik übertragen bedeutet dies, dass die entsprechenden stehenden Wellen in solchen Materialien nur in eine Richtung polarisiert sind. Darüberhinaus konnte mit Hilfe von Verzweigungstheorie bewiesen werden, dass in geeigneten Wellenleitern durch Variation eines Sättigungsparameters elektromagnetische stehende Wellen höherer Energie mit Polarisierung in zwei Raumrichtungen angeregt werden können ("Doppelbrechung"). Im zweiten Teil meines Forschungsprojekts untersuchte ich Randwertprobleme für sogenannte elastische Kurven in R2, die per Denition kritische Punkte des Willmore-Funktionals aus der geometrischen Analysis sind und damit in gewisser Hinsicht optimale Krümmungseigenschaften besitzen. Es konnte gezeigt werden, dass Navier- oder Dirichletrandwertprobleme für solche Kurven typischerweise unendlich viele Lösungen mit gegen unendlich wachsender Willmore-Energie (Krümmungsenergie) besitzen. Bemerkenswert innerhalb dieses Projekts war, dass die studierten Randwertprobleme innerhalb der Klasse der auf Bogenlänge parametrisierte Kurven bedeutend einfacher zu lösen waren als in der Klasse der als Graphen parametrisierten Kurven.
Publications
- A note on the local regularity of distributional solutions and subsolutions
R. Mandel
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R. Mandel
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R. Mandel
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