Nichtlineare Schrödingersysteme mit Sättigungseffekt und Willmore-Randwertprobleme

• Antragsteller: Dr. Rainer Mandel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2016
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 257041468

Nichtlineare Schrödingersysteme beschreiben die Ausbreitung vonelektromagnetischen Wellen in optischen Wellenleitern, die aus sogenannten nichtlinearen Materialien bestehen. Die bei der Analyse von Kerr-Materialien auftretenden kubischen Schrödinger-Systeme wurden von zahlreichen Autoren in den letzten Jahren erfolgreich untersucht. Im ersten Teil meines Forschungsvorhaben möchte ich den Ideen einer von Maia, Montefusco, Pellacci (2013) veröffentlichten Arbeit folgen und die bei der Modellierung gesättigter Kerr-Materialien auftretenden Schrödingersysteme untersuchen. Ich verfolge das Ziel, die dort formulierten Kriterien für die Existenz nichttrivialer stehender Wellen in solchen Medien zu verbessern und darüberhinaus eine größere Klasse von nichtlinearen Schrödingersystemen mit Sättigungseffekt zu analysieren.Im zweiten Teil meines Forschungsvorhabens möchte ich mich mit Kurven und Flächen minimaler Krümmungsenergie beschäftigen. Mathematisch wird diese durch die Willmore-Energie, einer vereinfachte Variante der Helfrich-Energie, quantifiziert. Kurven mit minimaler Willmore-Energie werden unter anderem in der Zellbiologie zur Modellierung von Zellmembranen verwendet. In den letzten Jahren wurden symmetrische graphenförmige Kurven gefunden, die innerhalb der speziellen Klasse der graphenförmigen Kurven mit vorgegebenen symmetrischen Randbedingungen die geringste Willmore-Energie besitzen. In meinem Forschungsvorhaben möchte ich die Existenz von Kurven zu klären, deren Willmore-Energie minimal unter allen Kurven mit vorgegebenen möglicherweise unsymmetrischen Randbedingungen ist. Darüberhinaus strebe ich an, die Existenz von Willmore-Flächen rotationsflächenartiger Form zu beweisen und dabei bestehende Resultate zu symmetrischen Rotationsflächen zu erweitern.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Italien
• Beteiligte Institution: Scuola Internazionale Superiore di Studi Avanzati (SISSA)
• Gastgeber: Professor Dr. Andrea Malchiodi