TP 2: Effiziente Simolationsmethoden für Anomale Diffusion auf zufälligen Fraktalen
Final Report Abstract
Ziel dieses Teilprojektes des Paketantrags “Software für parallele irreguläre Algorithmen”war die Entwicklung und Anwendung effizienter Algorithmen zur Simulation anomaler Diffusion auf zufälligen Fraktalen. Hierbei lag unser Fokus zunächst auf der Entwicklung von Algorithmen zur Simulation des Diffusionsprozesses mittels Mastergleichung und Random-Walk-Methode, die es uns im Anschluss erlaubte, die charakteristische Größen der Diffusion unter einer Vielzahl von Randbedingungen und äußeren Einflussparametern zu evaluieren. Im Rahmen der Algorithmenentwicklung ist vor allem die Entwicklung der Implementation für Graphikprozessoren (GPUs) hervorzuheben. In Kooperation mit dem InformatikTeilprojekt wurde eine GPU-basierte Implementation, die auf Grund der besonderen HardwareArchitektur neu konzeptioniert werden musste, entwickelt. Der neue GPU-Algorithmus ist in der Laufzeit um eine Größenordnung schneller als der CPU-basierte. Diese wäre bei einer Weiterentwicklung der CPU-basierten Implementation nur mit viel Aufwand möglich gewesen. Bei der Weiterentwicklung der Algorithmen für die Random-Walk-Methode konzentrierten wir uns auf eine effektivere Speicherung der Struktur der zufälligen Fraktale. Dies erlaubte es uns, kurzere Simulationszeiten zu erreichen und so die Simulation von Diffusionsprozessen in dreidimensionalen Strukturen zu ermöglichen. Bei der Anwendung dieser Algorithmen für die Diffusion auf zufälligen Fraktalen konzentrierten wir uns auf eine systematische Untersuchung des Einflusses der zufälligen Raumgeometrie auf den Diffusionsprozess im Vergleich zur Diffusion auf regulären Fraktalen. Hier können wir nun mit den neu entwickelten Konzepten „connection points“, „shortest path length“, „active sites“ and „traps“ das Verhalten von Diffusionsprozessen qualitativ vorhersagen. Ein überraschendes Ergebnis ist die Tatsache, dass trotz der Zufälligkeit und Verschiedenheit der betrachteten Fraktale allgemeinere Aussagen möglich sind. Dieses Konzept konnte auch erfolgreich für die Diffusion von punktförmigen Teilchen in einem äußeren Feld eingesetzt werden. Hierbei zeigte sich eine Vielzahl von interessanten Effekten, z.B. konnten wir feststellen, dass die Wirkung die äußeren Felder erst auf langen Zeitskalen den Prozess dominiert, während diese auf kurzen Skalen zunächst nicht sichtbar ist. In Bezug auf eine spätere Anwendung haben wir in Kooperation mit Dr. Herrmann (Tallinn University of Technology) diese Betrachtung auch auf räumlich ausgedehnte diffundierende Teilchen erweitert, die mit ihrer Umgebung wechselwirken. Hierbei warein wichtiges Ergebnis, dass trotz gleicher fraktaler Strukturen und gleicher Feldstärke die Veränderung der zufälligen Orientierung der Teilchen zu einer sehr deutlichen Veränderung der Diffusionsgeschwindigkeit führt. Für die Befüllung und Entladung von porösen Speichern mit Nanopartikeln sind Größen wie die charakteristischen Entladezeit wichtig, die wir im Rahmen dieses Projektes für zufällige Fraktale untersuchten. Interessant war hier, dass diese Größen signifikant davon abhängen, ob die Fraktale „finitely“ oder „infinitely ramified“ sind. Zusätzlich erweiterten wir die Untersuchung der anomalen Diffusion mittels verallgemeinerter Diffusionsgleichungen von reinen zeit- auf raum-fraktionale Ableitungen. Das damit aufgespannte Diffusionsregime konnten wir dann unter thermodynamischen Aspekten durch verschiedene Entropiemaße detailliert charakterisieren. Dies führte zu einem tieferen Verständnis, wie verschiedene Diffusionsprozesse untereinander verglichen werden können.
Publications
- Anomalous diffusion and Random walks on random fractals. Doktorarbeit, Technische Universität Chemnitz, Chemnitz, 2010
D. H. N. Anh
- Diffusion on fractals and space-fractional diffusion equations. Doktorarbeit, Technische Universität Chemnitz, Chemnitz, 2010
J. Prehl
- Simulating anomalous diffusion on graphics processing units. In Proc. of the 11th IEEE International Workshop on Parallel and Distributed Scientific and Engineering Computing (PDSEC-10), pages 1–8, 2010
Karl Heinz Hoffmann, Michael Hofmann, Jens Lang, Gundula Rünger, and Steffen Seeger
- Accelerating physical simulations using graphics processing units. it, 53(2):49–59, 2011
Karl Heinz Hoffmann, Michael Hofmann, Jens Lang, Gundula Rünger, and Steffen Seeger
- A unified approach to resolving the entropy production paradox. J. Non-Equilib. Thermodyn., 37(4):393–412, 2012
Karl Heinz Hoffmann, Christopher Essex, and Janett Prehl
(See online at https://doi.org/10.1515/jnetdy-2012-0008) - Diffusion of oriented particles in porous media. Phys. Lett. A, 377:2840–2845, 2013
René Haber, Janett Prehl, Heiko Hermann, and Karl Heinz Hoffmann
(See online at https://doi.org/10.1016/j.physleta.2013.08.036) - Time evolution of relative entropies for anomalous diffusion. Entropy, 15(8):2989–3006, 2013
Janett Prehl, Frank Boldt, Christopher Essex, and Karl Heinz Hoffmann
(See online at https://doi.org/10.3390/e15082989) - Random walks of oriented particles on fractals. J. Phys. A: Math. Gen., 47(17):155001–1–14, 2014
René Haber, Janett Prehl, Karl Heinz Hoffmann, and Heiko Herrmann
(See online at https://doi.org/10.1088/1751-8113/47/15/155001)
