Partielle Differentialgleichungen und Quantenfelder auf Supermannigfaltigkeiten

• Antragsteller: Professor Dr. Alexander Schenkel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2016
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 252118965

Ein unverzichtbares Werkzeug der modernen theoretischen Physik ist die Quantenfeldtheorie. Aufgrund ihres enormen physikalischen Erfolgs und der reichhaltigen zugrundeliegenden mathematischen Struktur hat sich die Quantenfeldtheorie in den vergangenen Jahrzehnten zu einem wichtigen Gebiet der Mathematik und mathematischen Physik entwickelt. Ein führender Kandidat für eine mathematisch präzise Formulierung solcher Theorien ist die algebraische Quantenfeldtheorie. Sie gibt einerseits ein konzeptionelles Fundament für Quantenfeldtheorien indem sie die relevanten Strukturen betont, welches die in Raumzeitregionen lokalisierten Observablenalgebren sind. Andererseits führt diese Theorie einen Satz von Axiomen ein, die Haag-Kastler Axiome, welche jede physikalisch sinnvolle Quantenfeldtheorie erfüllen sollte. Das Gebiet der algebraischen Quantenfeldtheorie durchläuft seit Kurzem enorme Neuentwicklungen. Eine der beachtenswertesten ist die Verallgemeinerung dieser Theorie, welche ursprünglich nur auf dem Minkowski-Raum definiert war, zu allgemeinen global-hyperbolischen Lorentz-Mannigfaltigkeiten. Im Zusammenhang mit diesen Fortschritten stehen auch die modernen Entwicklungen zu perturbativen algebraischen Quantenfeldtheorien auf solchen Mannigfaltigkeiten.Das Ziel meines Projektes ist die Entwicklung einer wichtigen Erweiterung der algebraischen Quantenfeldtheorie im Rahmen der Supergeometrie. In diesem Zusammenhang möchte ich ebenfalls explizite Modelle von perturbativ wechselwirkenden Quantenfeldtheorien auf Supermannigfaltigkeiten konstruieren. Durch das enge Zusammenspiel von Geometrie, Analysis und algebraischer Quantenfeldtheorie führt mein Forschungsziel ebenfalls zu neuartigen und interessanten Problemen in der Analysis von partiellen Differentialgleichungen auf Supermannigfaltigkeiten und in der Analysis von Singularitäten von Superdistributionen. Diese Aspekte werden ebenfalls in meinem Forschungsprojekt studiert. Die beiden folgenden Faktoren liefern die Motivation für mein Projekt: Zum einen ist die Supersymmetrie und Supergeometrie ein wichtiges Leitprinzip in vielen modernen Ansätzen zur fundamentalen Physik. Die mathematisch rigorosen Techniken, welche im Rahmen meiner Arbeit entwickelt werden sollen, finden somit eine direkte Anwendung in diesen Gebieten. Zum anderen haben frühere Arbeiten gezeigt, dass die Kombination von Supersymmetrie und Quantenfeldtheorie zu außergewöhnlichen Renormierungseigenschaften letzterer führt. Es ist somit von erheblichem Interesse, diese Eigenschaften in präzisen Ansätzen zur Quantenfeldtheorie, so wie es die perturbative algebraische Quantenfeldtheorie ist, zu untersuchen und verstehen. Auf längere Sicht können diese Untersuchungen neue Einsichten hervorbringen, welche es erlauben solche Modelle in voller mathematischer Rigorosität zu konstruieren.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Professor Dr. Richard J. Szabo