Flächen höheren Geschlechts mit konstanter mittlerer Krümmung

• Antragsteller: Privatdozent Dr. Sebastian Heller; Dr. Nicholas Schmitt
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2014 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 251913428

Das Studium von Flächen in 3-dimensionalen Raumformen war schon immer ein wichtiger Bestandteil der Differentialgeometrie. Zu den Interessantesten gehören Minimalflächen und, etwas allgemeiner, Flächen konstanter mittlerer Krümmung (CMC-Flächen). Allgemein lassen sich CMC-Flächen durch ihre assoziierte Familie von flachen Zusammenhängen auf einem komplexen Bündel vom Rang 2 beschreiben. Im Fall von Tori zerfällt ein generischer flacher Zusammenhang in parallele Linienbündelzusammenhänge. Die sogenannten Spektraldaten parametrisieren diese Familie von flachen Linienbündeln, und auf diese Weise können alle CMC-Tori explizit durch algebraisch-geometrischer Daten beschrieben werden. Insgesamt wurden durch diese integrabele Systeme Theorie eine Vielzahl an neuen Minimal- und CMC-Flächen vom Geschlecht 1 konstruiert. Im Gegensatz dazu sind bisher nur wenige Beispiele von kompakten Minimal- und CMC-Flächen höheren Geschlechts konstruiert worden. Insbesondere sind die bekannten Beispiele, wie etwa die Minimalflächen von Lawson, nur implizit über die Lösung nicht-linearer partieller Differentialgleichungen gegeben.In aktuellen Arbeiten haben wir den integrabelen Systeme Zugang auf symmetrische CMC- und Minimalflächen von höherem Geschlecht ausgeweitet, und für diese Flächen eine Spektraldatendarstellung entwickelt. Dies liefert uns neue Werkzeuge um CMC-Flächen höheren Geschlechts und deren Modulräume systematisch zu untersuchen.Das Ziel dieses Projektes ist es, das Verständnis von CMC- und Minimalflächen von höherem Geschlecht mittels integrabeler Systeme Methoden zu verbessern und die Konstruktion von Spektraldaten geschlossener CMC-Flächen voranzutreiben. Dazu werden wir den verallgemeinerten Whithamfluß detailliert untersuchen und seine Langzeitexistenz für geeignete initiale Spektraldaten nachweisen umso die Existenz neuer Minimal- und CMC-Flächen zu beweisen. Darüber hinaus wollen wir diesen Fluss benutzen, um den Modulraum der symmetrischen eingebetteten CMC-Flächen vom Geschlecht 2 mathematisch rigoros zu beschreiben.Ein weiteres wichtiges Ziel ist es, den Spektralkurvenzugang auf allgemeine CMC- und Minimalflächen vom Geschlecht g=2 (und höher) auszuweiten. Dabei wollen wir, neben einer konkreten Beschreibung des Modulraums aller flachen Zusammenhänge durch die sogenannte Abelianisierung, vor allem eine Methode entwickeln, um Spektraldaten nicht-symmetrischer CMC-Flächen zu konstruieren.Unser integrabeler Systeme Zugang zu CMC-Flächen hat es uns ermöglicht Experimente mit CMC-Flächen höheren Geschlechts durchzuführen. Diese Experimente liefern unter anderem ein detailliertes Verständnis des Modulraumes symmetrischer CMC-Flächen vom Geschlecht 2. Wir werden unsere Experimente auf allgemeine kompakte CMC-Flächen ausdehnen, um unsere theoretischen Überlegungen experimentell voranzutreiben und zu verifizieren, und um belastbare Aussagen über den Modulraum aller kompakten CMC-Flächen zu erhalten.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen