Resolution of singularities in positive characteristic: the case of small dimension or large characteristic
Final Report Abstract
In meinem Projekt habe ich mich mit der Auflösung von Singularitäten beschäftigt. Dies ist ein Teilgebiet der algebraischen Geometrie, in dem man untersucht, ob es immer möglich ist, für geometrische Objekte X , die im allgemeinen sehr kompliziert sein können und z.B. Knoten, Spitzen oder ähnliches, sogenannte Singularitäten, haben, ein weiteres Objekt Y zu konstruieren, welches fast überall mit X übereinstimmt, aber keine Singularitäten mehr besitzt. Obendrein soll X als geeignete Projektion aus Y hervorgehen. Für Kurven oder Flächen ist dies stets möglich. Im allgemeinen ist aber nicht klar, ob solch ein Model Y von X existiert. In meinem ersten Teilprojekt habe ich gemeinsam mit Bernhard Dietel eine genaue Abgrenzung gegeben, in welchen Fällen die bekannten Methoden ausreichen um Y zu konstruieren. Für die Auflösung von Flächen X existiert für die Bestimmung von Y ein auf der geometrischen Struktur der Singularitäten beruhender Algorithmus. Der ursprüngliche Beweis hierfür wurde auf indirekte Weise geben, d.h. es wurde angenommen, der Algorithmus sei nicht endlich, woraus dann ein Widerspruch hergeleitet wurde. In meinem zweiten Teilprojekt habe ich in Zusammenarbeit mit Vincent Cossart eine Invariante für X konstruiert, die in jedem Schritt des Algorithmus eine strikte Verbesserung misst. Hieraus lässt sich nun ein direkter Beweis für die Endlichkeit entwickeln. In der Konstruktion der obigen Invariante taucht auch Hironakas charakteristischer Polyeder auf, ein weiteres geometrisches Objekt, das zu X assoziiert werden kann und das die Natur der Singularitäten von X zu einem gewissen Teil widerspiegelt. Um diesen Polyeder zu bestimmen, gibt es eine Prozedur, für die ebenfalls die Frage interessant ist, ob diese endlich ist. Aufbauend auf bekannten Spezialfällen habe ich im dritten Teilprojekt gemeinsam mit Vincent Cossart ergründet, inwieweit sich dies auf den allgemeinsten Fall fortsetzen lässt. Wir konnten die Behauptung auf einen sehr speziellen Fall zurückführen, welchen wir wiederum größtenteils lösen konnten. Allerdings nicht im allgemeinsten Fall. Hieran arbeiten wir noch, da ein Gegenbeispiel weitreichende Folgen hätte. Genauer könnte hieraus ein mögliches Gegenbeispiel für Auflösung von Singularitäten konstruiert werden. In meinem vierten Teilprojekt untersuche ich Objekte X , für welche die bekannten Techniken versagen und für die bislang noch keine Methoden zur Auflösung bekannt sind. Aufbauend auf Arbeiten von Vincent Cossart und Olivier Piltant konnte ich erste Fortschritte machen. Diese sind von höchst technischer Natur, motivieren aber zu weiteren Studien aus denen ich mir ein erstes tiefgründiges Resultat in dieser Richtung erhoffe. Darüber hinaus entstand eine Kooperation in eine neue Richtung. Gemeinsam mit Hussein Mourtada habe ich eine neue Charakterisierung von sogenannten quasi-ordinären Singularitäten unter Benutzung gewisser Polyedern entwickelt. Dies sind spezielle Singularitäten, für die bekannt ist, wie man sie auflöst, die aber dadurch interessant sind, dass man die weitere Struktur (wie z.B. die Topologie) genauer beschreiben kann.
Publications
- Idealistic Exponents and their characteristic polyhedra, 2014
B. Schober
- A polyhedral approach to the invariant of Bierstone and Milman, 2014
B. Schober
- A strictly decreasing invariant for resolution of singularities in dimension two, 2014
V. Cossart and B. Schober
- Characteristic polyhedra of singularities without completion - part II, 2014
V. Cossart and B. Schober
- A polyhedral characterization of quasi-ordinary singularities. Moscow Mathematical Journal, 30pp., 2015
H. Mourtada and B. Schober
