Neue nichtlineare Ausgleichungsverfahren zur Anwendung in der Geodäsie und verwandten Gebieten

• Antragsteller: Professor Dr.-Ing. Frank Neitzel
• Fachliche Zuordnung: Geodäsie, Photogrammetrie, Fernerkundung, Geoinformatik, Kartographie
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 242160557

In vielen technischen Wissenschaften lassen sich die gesuchten Zielgrößen nicht direkt aus durchgeführten Messungen bestimmen. Die unbekannten Parameter sind daher unter Verwendung eines funktionalen Modells mit den durchgeführten Messungen zu verknüpfen. Ein Beispiel dafür ist die Bestimmung von 3D-Koordinaten eines Objektes unter Verwendung von Strecken- und Richtungsmessungen.Zur Sicherung von Genauigkeit und Zuverlässigkeit werden grundsätzlich mehr Messungen ausgeführt, als für eine eindeutige Bestimmung der unbekannten Parameter erforderlich ist. In diesen Fällen liegt ein Ausgleichungsproblem vor, bei dem unter Berücksichtigung unvermeidbarer zufälliger Messabweichungen ein bestmögliches Ergebnis erzielt wird.Ausgehend von Forschungsarbeiten auf dem Gebiet der mathematischen Statistik wurden ab ca. 1980 nicht nur zufällige Abweichungen in den Messwerten, sondern auch in den Parametern des funktionalen Modells wissenschaftlich behandelt, was als "Errors-In-Variables (EIV)"-Modell. bezeichnet wird.Zur Lösung des resultierenden nichtlinearen Ausgleichungsproblems wurde das "Total Least-Squares (TLS)"-Verfahren entwickelt. Die Bestimmung der gesuchten Parameter kann damit unter bestimmten Bedingungen in ein Eigenwertproblem überführt werden, für das effiziente Lösungsverfahren zur Verfügung stehen.Dieser Lösungsweg stößt jedoch beim Vorliegen spezieller Strukturen des funktionalen und/oder des stochastischen Modells an seine Grenzen. Im Rahmen des beantragten Projektes sollen neue Verfahren der nichtlinearen Ausgleichungsrechnung entwickelt werden, die eine verallgemeinerte Lösung des EIV-Modells ermöglichen.Die methodische Vorgehensweise besteht im Aufbau von nichtlinearen Normalgleichungen für verallgemeinerte Problemstellungen derart, dass man eine bestmögliche Lösung im Sinne von numerischer Effizienz bei größtmöglichem Konvergenzradius erhält.Die neuen Verfahren sollen auch die Regularisierung bei schlecht gestellten Problemen, die robuste Ausgleichung beim Vorliegen von Ausreißern sowie die Verarbeitung von Dispersionsmatrizen beliebiger Struktur für die Messwerte ermöglichen. Ein bisher nicht bearbeitetes Thema ist das EIV-Modell mit Vorinformation, was zur TLS-Kollokation führen soll.Die neuen Ausgleichungsverfahren sollen ihre Anwendung in der Geodäsie (z.B. Koordinatentransformation), Geostatistik (z.B. Kriging) und Computer Vision (z.B. 3D-Oberflächenanpassung) finden. Eine Adaptierung an Fragestellungen aus weiteren Fachdisziplinen soll aufgrund der verallgemeinerten Lösung problemlos möglich sein.

• DFG-Verfahren: Sachbeihilfen