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Projekt
Computational Galois Theory for Local Fields
Antragsteller
Professor Dr. Jürgen Klüners
Fachliche Zuordnung
Mathematik
Förderung
Förderung von 2013 bis 2017
Projektkennung
Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 239392052
Galoisgruppen sind grundlegende Objekte der Mathematik, mit deren Hilfe man entscheiden kann, ob eine Polynomgleichung durch geschachtelte Wurzelausdrücke gelöst werden kann. In den letzten Jahren konnte der Antragsteller große Fortschritte bei der praktischen Berechnung von Teilkörpern und Galoisgruppen über den rationalen Zahlen erzielen. Obwohl die implementier-ten Verfahren inzwischen Galoisgruppen von Polynomen in hohem zweistelligem Grad bestimmen können, ist die Galoisgruppenberechnung immer noch ein sehr schwieriges Problem, und es ist nicht bekannt, ob es hierzu Algorithmen mit Polynomlaufzeit gibt. Bei der Teilkörperberechnung algebraischer Zahlkörper entwickelte der Antragsteller neue Algorithmen, welche in polynomieller Laufzeit ein System von erzeugenden Teilkörpern ausrechnet. Alle Teilkörper können dann als Schnitte dieser erzeugenden Teilkörper beschrieben werden und die Laufzeit ist dann zusätzlich linear in der Anzahl der Teilkörper. In diesem Projekt sollen nicht-triviale Algorithmen für die Berechnung von Teilkörpern und Galois-gruppen über lokalen Körpern, d.h. p-adischen Körpern und lokalen Funktionenkörpern, entwickelt und implementiert werden. Es besteht berechtigte Hoffnung, dass man hierdurch auch die Galois-gruppenberechnung über globalen Körpern deutlich verbessern kann. Zur Durchführung des Projekts muss man einerseits die Struktur von lokalen Körpern theoretisch sehr genau verstehen, andererseits soll am Ende eine Implementierung entstehen. Dies ergibt ein sehr schönes Wechselspiel zwischen reiner Mathematik und Computeralgebra. Die Teilkörperberechnung von lokalen Körpern wird auf das Faktorisieren von Polynomen und dem Lösen von linearen Gleichungssystemen über dem Grundkörper zurückgeführt. Da der Output der Faktorisierungen nur approximierte Ergebnisse liefert und diese als Input für die linearen Gleichungen dienen, müssen wir uns wie in der Numerik mit der Korrektheit der Ergebnisse auf Grund von Präzisionsproblemen beschäftigen. Das Hauptproblem der Galoisgruppenberechnung über lokalen Körpern besteht darin, dass wir keinen einfachen Zugriff auf Approximationen der Nullstellen bekommen und daher die globalen Algorithmen nicht übertragen werden können. Bei der Galoisgruppenberechnung wollen wir die bekannte Struktur der absoluten Galoisgruppe ausnutzen und Methoden aus der lokalen Klassenkörpertheorie verwenden.
DFG-Verfahren
Schwerpunktprogramme
