Toroidale Methoden zur Berechnung von Zetafunktionen von Gruppen und Ringen

• Antragsteller: Professor Dr. Christopher Voll
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2017
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 238710579

Zetafunktionen von Gruppen und Ringen wurden ursprünglich in den 1980er Jahren im Rahmen des Studiums des Untergruppenwachstums eingeführt. In den darauffolgenden Jahren hat sich um diese Klasse von Funktionen eine reichhaltige Theorie entwickelt, die vielfältige Verbindungen mit der Algebra, Kombinatorik, algebraischer Geometrie sowie weiteren Gebieten der Mathematik aufweist. Das vorgeschlagene Forschungsvorhaben zielt darauf ab, toroidale Methoden für die Berechnung und Analyse von Zetafunktionen von Gruppen und Ringen zu entwickeln. Die von uns studierten Zetafunktionen gestatten natürliche Darstellungen als Eulersche Produkte von "lokalen" Zetafunktionen, die durch die Primzahlen indiziert sind. Unser Ziel ist es, diese lokalen Faktoren zu berechnen. Unser erstes konkretes Hauptziel ist es, einen Algorithmus zu entwickeln und zu implementieren, der lokale Zetafunktionen - unter geeignet formulierten Nichtdegeneriertheitsbedingungen an assoziierte Newtonpolyeder – explizit berechnet. Unser Algorithmus wird algebro-geometrische Berechnungen mit Methoden der konvexen Geometrie kombinieren. Unser zweites Ziel ist die Entwicklung von Methoden zum Studium analytischer Eigenschaften von Zetafunktionen von Gruppen und Ringen, wiederum unter geeigneten Nichtdegeneriertheitsbedingungen. Insbesondere werden wir Methoden zum Studium der lokalen Polspektra solcher Funktionen entwickeln. Unser drittes Hauptziel ist die Anwendung der von uns entwickelten algorithmischen Methoden zum Studium der Zetafunktionen bestimmter Klassen von Gruppen und Ringen, die von besonderem Interesse sind. Diese konkreten Berechnungen sind wichtig einerseits zur weiteren Entwicklung unserer Algorithmen, andererseits als Testgelände für Vermutungen. Programme und Datenbanken, die in diesem Projekt entwickelt werden, werden wir frei zugänglich machen.

• DFG-Verfahren: Schwerpunktprogramme
• Teilprojekt zu: SPP 1489: Algorithmic and Experimental Methods in Algebra, Geometry and Number Theory