Thurston's classification of rational maps, Cannon'sconjecture, and Quasispheres

• Applicant: Professor Daniel Meyer, Ph.D.
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2013 to 2016
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 237093066

• Final Report Year: 2016

Final Report Abstract

Ziel des Projektes ist es, vorangehende Ergebnisse zu verallgemeinern. Darin wurden sogenannte Thurston Abbildungen mit Mitteln der geometrischen Gruppentheorie studiert. Eine grosse Motivation hierzu ist Thurston’s Klassifikation rationaler Abbildungen. Diese gibt ein Kriterium wann eine Thurston Abbildung (ein topologisches Modell einer rationalen Abbildung) “äquivalent” zu einer rationalen Abbildung ist. Eng verwandt ist Cannon’s Vermutung, die besagt daß eine Gruppe, die sich topologisch wie die Fundamentalgruppe einer kompakten hyperbolischen 3-Manigfaltigkeit verhält, eine solche ist. Zum einen wurden die Resultate wesentlich erweitert. Dies ist nun eine solide Grundlage für weitere Forschung. Zusätzlich wurde damit begonnen, Abbildungen zu betrachten, die etwas allgemeiner als “expandierende Thurston Abbildungen” sind. Speziell wurden rationale Abbildungen betrachtet, deren Julia Menge ein Sierpiński-Teppich ist. Weiterhin wurde die “iterierte Monodromiegruppe” von Thurston Abbildungen studiert. Für bestimmte Abbildungen wurde exponentielles Wachstum dieser Gruppe gezeigt. Dies sind jeweils die ersten Beispiele dieser Art. Speziell wurde ein Gegenbeispiel einer bekannten Vermutung gezeigt. Ein besonderer Aspekt dieser Arbeit ist, daß die iterierte Monodromiegruppe geometrisch beschrieben wird. Dies vereinfacht unsere Betrachtungen sehr und führt hoffentlich zu einer stärkeren Interaktion zwischen Forschern aus der Gruppentheorie sowie der komplexen Dynamik. Allerdings sind wir erst am Anfang, viele äußerst vielversprechende Fragen werden sehr bald behandelt werden.

Publications

• Invariant Peano curves of expanding Thurston maps, Acta Math. 210 (2013), 95–171
  D. Meyer
  (See online at https://doi.org/10.1007/s11511-013-0091-0)
• Unmating of rational maps, sufficient criteria and examples, in: Frontiers in Complex Dynamics, Princeton Math. Ser. 51, Princeton Univ. Press, Princeton NJ, 2014, pp. 197– 234
  D. Meyer
  
• Expanding Thurston maps, in AMS surveys and monographs, 2016
  M. Bonk and D. Meyer
  
• Exponential growth of some iterated monodromy groups
  M. Hlushchanka and D. Meyer
  
• Invariant Jordan curves of Sierpiński carpet rational maps, in Ergodic Theory Dynam. Systems
  Y. Gao, P. Haïssinsky, D. Meyer, and J. Zeng
  (See online at https://doi.org/10.1017/etds.2016.47)