Galoisdarstellungen:Deformationensringe, kompatible Systeme und Modularität

• Antragsteller: Professor Dr. Gebhard Böckle
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2013 bis 2022
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 221264088

Ein Grundthema der modernen Zahlentheorie ist der Zusammenhang zwischen p-adischen Galoisdarstellungen der absoluten Galoisgruppe eines Zahlkörpers und Modulformen. Die Ideen in Wiles¿ Beweis [Wi95] des Satzes von Fermat gemeinsam mit R. Taylor [TW95] haben fundamental neue Perspektiven eröffnet. Ihre Weiterentwicklung führte zu Beweisen der Vermutungen von Sato-Tate [CHT08] und Serre [KW]. Noch weitreichendere Resultate existieren für globale Funktionenkörper: die globale Langlandskorrespondenz für GLn ist ein Theorem von L. Lafforgue [La02], und in [La12] konstruiert V. Lafforgue Galoisdarstellungen zu automorphen Formen mit Werten in einer beliebigen reduktiven Gruppe G. Im Zeitraum des Erstantrags wurden in den Arbeiten von D.-A. Guiraud (abgeschlossen) und A.-K. Juschka (noch laufend) neue Resultate zur Unobstruiertheit in kompatiblen Systemen von RACSDC automorphen Darstellungen, sowie zu lokalen Deformationsringen erzielt. Die Arbeit [BJ15] ist publiziert. Gemeinsam mit W. Gajda und S. Peterson erhielten wir in [BGP15] ein Resultat zur Unabhängigkeit der Bilder von Galoisdarstellungen über Funktionenkörpern. Mit Harris, Khare und Thorne arbeiten wir über potentielle Automorphie G^-wertiger Galoisdarstellungen und haben bereits mehrere interessante Zwischenresultate erzielt.Entsprechend der oben beschriebenen Entwicklungen, sowie der erzielten Ergebnisse ändert sich der Fokus des Fortsetzungsantrags: Beim Studium lokaler Eigenschaften von Galoisdarstellungen sollen die Arbeiten zu GLn-wertigen Deformationsringen für mod p Darstellungen der absoluten Galoisgruppe eines p-adischen Körpers abgeschlossen werden, die Arbeit an G-wertigen Deformationsringen soll vertieft werden, und es sind Beiträge zur L-Invarianten Hilbertscher Modulformen vorgesehen. Im globalen Kontext richtet sich der Fokus auf kompatible Systeme von Galoisdarstellungen und deren Zusammenhang mit automorphen Formen. Über Funktionenkörpern geht es um uniforme Eigenschaften der Bilder in kompatiblen Systemen, sowie um potentielle Automorphie; über Zahlkörpern sollen die Resultate zu Unobstruiertheit in kompatiblen Systemen vertieft, sowie Endomorphismenringe zu inneren Twists und für Hilbertsche Modulformen oder RACSDC automorphen Formen untersucht und definiert werden.

• DFG-Verfahren: Forschungsgruppen
• Teilprojekt zu: FOR 1920: Symmetrie, Geometrie und Arithmetik
• Internationaler Bezug: Frankreich, Großbritannien, Polen, USA
• Kooperationspartner: Professor Dr. Wojciech Gajda; Professor Dr. Michael Harris; Professor Dr. Chandrashekhar Khare; Dr. Sebastian Petersen; Dr. Jack Thorne