A priori estimates, regularity, and asymptotics for nonlocal in time nonlinear partial differential equations
Final Report Abstract
In dem Projekt wurden qualitative Eigenschaften von zeitlich nichtlokalen partiellen Differentialgleichungen untersucht, wobei das Hauptaugenmerk zeitlich nichtlokalen Subdiffusionsgleichungen galt, insbesondere zeit-fraktionalen Diffusionsgleichungen mit Zeitordnung α < 1. Solche Gleichungen treten z.B. beider Modellierung von anomalen Diffusionsvorgangen und dynamischen Prozessen in Materialien mit Gedächtnis auf und haben in den letzten Jahren ein verstärktes Interesse erfahren. Ein Schwerpunkt des Projekts bestand darin, die für zeit-fraktionale Diffusionsgleichungen bereits teilweise entwickelte De Giorgi-Nash-Moser-Theorie substanziell auszubauen. Ein wesentlicher Aspekt war dabei die Stabilität der Abschätzung beim Grenzübergang α → 1, also beim Übergang von ”nichtlokal” zu ”lokal”. Es konnte eine (optimale) schwache Harnack-Ungleichung hergeleitet werden, die diese Robustheitseigenschaft besitzt und überdies keine globale Positivitätsbedingung voraussetzt. Mit Hilfe dieses neuen Resultats konnte auch ein neuer, viel kürzerer und eleganter Beweis fiir die Holderstetigkeit von schwachen Lösungen gefunden werden. Desweiteren wurden mit ganz neuen Techniken wichtige Fortschritte im Hinblick auf die volle Harnack-Ungleichung erzielt, deren vollständiger Beweis in naher Zukunft zu erwarten ist. Als zweiter Schwerpunkt wurde das Langzeitverhalten von Lösungen untersucht. Dabei stand der Nachweis optimaler Decay-Abschätzungen im Mittelpunkt. Es stellte sich heraus, dass zeit-fraktionale Diffusionsgleichungen mit Zeitordnung α < 1 in bezug auf die Abklingraten ganz andere Eigenschaften besitzen als die Wärmeleitungsgleichung, die dem Fall α = 1 entspricht. Insbesondere tritt im Ganzraumfall das Phänomen einer kritischen Dimension auf: die Rate nimmt zunächst mit der Raumdimension zu, bleibt dann aber ab einer gewissen Dimension konstant. Das Abklingverhalten entspricht ab dieser kritischen Dimension genau dem Fall eines beschränkten Gebiets mit homogenen Dirichletrandbedingungen. Letztere Situation konnte mit Energieabschätzungen auch im quasilinearen Fall optimal behandelt werden. Bei singularen Gleichungen wurde ferner das Phänomen entdeckt, dass eine fraktionale Dynamik Auslöschung in endlicher Zeit verhindern kann.
Publications
- Optimal Decay Estimates for Time-Fractional and Other NonLocal Subdiffusion Equations via Energy Methods. 30 S., SIAM Journal on Mathematical Analysis, 2015, Vol. 47, No. 1 : pp. 210-239 (30 pages)
Rico Zacher, V. Vergara
(See online at https://doi.org/10.1137/130941900) - Decay estimates for time-fractional and other non-local in time subdiffusion equations in Rd . 34 S., Mathematische Annalen,
December 2016, Volume 366, Issue 3–4, pp 941–979
Rico Zacher, J. Kemppainen, J. Siljander, V. Vergara
(See online at https://doi.org/10.1007/s00208-015-1356-z)
