Coarse geometry and applications to the Baum-Connes conjecture
Final Report Abstract
Das Thema des geförderten Projekts war die grobe Geometrie („coarse geometry") welche unendlich ausgedehnte Räume im Limes beliebig großer Zahle analysiert und die Anwendung der Erkenntnisse und Methoden der groben Geometrie in verschiedenen Kontexten. Hierbei gab es mehrere Foki: • Grundlagen, insbesondere der Homotopietheorie grober Räume • Skalenlimiten, Felder und Operatoren auf groben Räumen • grobe C*-Algebren mit Koeffizienten, (grobe) Baum-Connes-Vermutung • geometrische Konsequenzen und Anwendungen grober Geometrie • L2-Bettizahlen und L2-Indextheorem Es hat sich dabei ergeben, dass die geometrischen Anwendungen, im Vergleich zum Projektantrag, einen etwas größeren Raum eingenommen haben. Weiter stellte sich heraus, dass zur Realisierung dieser geometrischen Anwendungen zusätzliche Invarianten benötigt wurden - konkret L2-Indizes (mit einem geeigneten L2-Indextheorem). Highlights: • Vergrößerbarkeit von Mannigfaltigkeiten im Sinne von Gromov-Lawson impliziert, dass Rosenbergs alpha-Invariante in der K-Theorie der reduzierten Gruppen-C*-Algebra nicht verschwindet. Hierzu werden neue Grobräume, insbesondere der „Ballonraum" eingeführt und für diese die grobe Baum-Connes-Vermutung bewiesen, sowie ein neues L2- Indextheorem bewiesen und benutzt. • Die groben Homotopiegruppen der von Rn+1 stimmen (mit der kanonischen Vergleichsabbildung) mit den gewöhnlichen Homotopiegruppe von Sn überein. • Für Fundamentalgruppen mit Torsion kann man die L2-rho-Invariante einsetzen, um unendlich viele Bordismusklassen von Metriken mit positiver Skalarkrümmung zu konstruieren und zu unterscheiden, sobald es nur eine davon gibt. • Für torsionsfreie Fundamentalgruppen und bei positiver Skalarkrümmung sind die L2-rho-InVarianten Null, falls für diese Gruppe die Baum-Connes-Assemblierungsabbildung für die maximale C*-Algebra ein Isomorphismus ist.
Publications
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Paolo Piazza and Thomas Schick
(See online at https://doi.org/10.4171/JNCG/2) - Finite group extensions and the Baum-Connes conjecture, Geom. Topol. 11 (2007), 1767-1775
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Paolo Piazza and Thomas Schick
(See online at https://dx.doi.org/10.2140/pjm.2007.232.355) - Rough Isometries of Lipschitz Function Spaces, 2007
Andreas Lochmann
- Coarse topology, enlargeability, and essentialness, Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 4 1 (2008), no. 3, 471-493
Bernhard Hanke, Dieter Kotschick, John Roe, and Thomas Schick
- Approximation of center valued L2-Betti numbers and the centervalued Atiyah conjecture, Dissertation, Georg-August-Universität Göttingen, 2009
Anselm Knebusch
- Rough isometrics of order lattices and groups. Dissertation, Georg-August-Universität Göttingen, 2009
Andreas Lochmann
- Some aspects on Coarse homotopy theory. Dissertation, Georg-August-Universität Göttingen, 2009
Behnam Norouzizadeh
- Irreducible Elements in Metric Lattices, 2010
Andreas Lochmann
- Shared Rough and Quasi-Isometries of Groups, 2010
Andreas Lochmann
- The general notion of descent in coarse geometry, Algebr. Geom. Topol. 10 (2010), no. 4, 2419-2450
Paul D. Mitchener
- Approximation of center-valued Betti-numbers, Houston Journal of Mathematics 37 (2011)
Anselm Knebusch
- The Atiyah conjecture and Artinian rings. Pure and Applied Mathematics Quarterly 8 (2012), 313-328
Peter Linnell and Thomas Schick
