Discontinuous Galerkin methods for incompressible multi-phase flows
Software Engineering and Programming Languages
Final Report Abstract
Die Zielsetzung des Projekts ist die Entwicklung eines numerischen Verfahrens zur Simulation von inkompressiblen Zweiphasenströmungen von nicht-vermischbaren Fluiden, beispielsweise einem Gemenge von Öl und Wasser. Im Gegensatz zu einphasigen Strömungen treten hier Singularitäten auf. Konkret betrifft dies Druck und Geschwindigkeit: für Strömungen mit materiellen Grenzflächen, bei welchen kein Massenaustausch zwischen den Fluiden stattfindet, hat das Druckfeld einen Sprung (d.h. die erste Ableitung ist singulär) und das Geschwindigkeitsfeld einen Knick (d.h. die zweite Ableitung ist singulär). Bei nicht-materiellen Grenzflächen vollführt auch das Geschwindigkeitsfeld einen Sprung. Zur numerischen Behandlung solcher Probleme existieren prinzipiell zwei Ansatze. Der erste vollführt eine Regularisierung der Singularitäten, d.h. Sprünge werden verschmiert. Im Gegensatz dazu stehen Methoden, welche die auftretenden Singularitäten in der Numerik ‘scharf’ abbilden. Sie sind prinzipbedingt genauer als regularisierende Methoden. Die in diesem Projekt entwickelten Verfahren fallen in letztere Kategorie. Die Basis des Verfahren bildet die sogenannte diskontinuierliche Galerkin (DG) Methode. Diese wird dahingehend erweitert, Singularitäten von Feldgrößen innerhalb einer numerischen Zelle abbilden zu können. Damit kann die hohe Genauigkeit (d.h. die hohe Fehlerkonvergenzordnung) des originalen DG-Verfahrens auf Mehrphasenströmungen ausgedehnt werden. Diese wird als erweiterte DG Methode (extended discontinuous Galerkin, XDG) bezeichnet. Die Position des Sprungs oder Knicks wird dabei über ein Level-Set beschrieben. Diese Vorgehensweise bringt eine Reihe von mathematischen sowie technischen Schwierigkeiten mit sich. In Abhängigkeit der Lage der fluiden Grenzfläche zum numerischen (Hintergrund-) Gitter können sich nun beliebig kleine Schnittzellen bilden. Diese sind insbesondere fur die Konditionszahlen der entstehenden Gleichungssysteme kritisch, d.h. es können Gleichungssysteme entstehen welche ‘fast nicht’ lösbar sind. Im Rahmen des Projekts wurden Techniken entwickelt, um diese Falle handhaben zu können. Damit können nun die fur Einphasenströmungen bekannten Fehlerkonvergenzordnungen auch für Zweiphasenströmungen erreicht werden. Des Weiteren wurden Methoden entwickelt, um die Krümmung der fluiden Grenzfläche genau auswerten zu können. Dies ist relevant, da der Drucksprung proportional zur Krümmung ist. Numerische Experimente haben gezeigt, dass die Stabilität des Verfahrens ganz entscheidend von der Qualität der Krümmungsberechnung abhängt. Auch wurde im Rahmen des Projekts damit begonnen, Lösungsalgorithmen für die anfallenden linearen Gleichungssysteme zu entwickeln bzw. zu implementieren, welche auch für größere Probleme anwendbar sind, z.B. Mehrgittermethoden, Gebietszerlegungsmethoden und problemangepasste Vorkonditionierung mit Algorithmen wie SIMPLE. Zukünftige, an das Projekt anschließende Arbeiten werden sich mit der Weiterentwicklung und dem Ausbau der Methode beschäftigen. Dies betrifft vor allem die detailliertere Untersuchung von transienten Problemen, die Verbesserung des Level-Set-Algorithmus, Performanceverbesserung und Erweiterung auf 3D-Probleme, sowie die Untersuchung von komplizierter Physik (Tropfenkollision).
Publications
- “Extended discontinuous Galerkin methods for multiphase flows: the spatial discretization,” Center for Turbulence Research Annual Research Briefs, pp. 319– 333, 2013
F. Kummer
- “Patch-recovery filters for curvature in discontinuous Galerkin-based level-set methods” 2015
F. Kummer and T. Warburton
- “Extended discontinuous Galerkin methods for two-phase flows: the spatial discretization". International Journal Numerical Methods Engineering (NME), Vol 109 Issue 2, 13 January 2017, Pages 259-289
F. Kummer
(See online at https://doi.org/10.1002/nme.5288)
