Big cones of algebraic varieties
Final Report Abstract
Das Ziel des Projekts war die Untersuchung des Big-Kegels algebraischer Varietäten und dessen Zerlegungen in Teilkegel. In einer Reihe von Arbeiten von Ein, Lazarsfeld, Mustata, Nakamaye und Popa aus den Jahren 2008 und 2009 wurde deutlich, dass es ein Anliegen von zentraler Bedeutung ist, stabile Basisorte und deren Variation im Big-Kegel zu verstehen. Durch den Übergang zu augmentierten Basisorten und dank der Ergebnisse zur Volumenfunktion sind wichtige allgemeine Grundlagen gelegt und Methoden entwickelt. Außer im Flächenfall war jedoch die Struktur des Big-Kegels und dessen Zerlegung in Teilkegel mit konstantem stabilen Basisort nur in sehr wenigen Fällen (unter starken Endlichkeitsannahmen) bekannt. Im Rahmen des Projekts sollte einerseits für diese speziellen Fälle die Kammerzerlegung genauer untersucht werden, nämlich in Hinblick auf Kammeranzahl und Kammervolumina und andererseits höherdimensionale Varietäten, die die genannten Endlichkeitsannahmen nicht erfüllen, im Hinblick auf ihre Kammerstruktur beschrieben werden. Bereits zu Beginn des Projekts zeigte sich in Gesprächen mit P. Luszcz-Swidenka, dass Newton-Okounkov-Körper, deren Untersuchung ursprünglich nicht vorgesehen war, eine vielversprechende Invariante für die Untersuchung von (big) Linearsystemen darstellen und insbesondere in engem Zusammenhang zu möglichen Kammerzerlegungen des Big-Kegels stehen. Wir konnten zeigen, dass die bekannte Zerlegung des Big-Kegels im Flächenfall die Existenz einer sogenannten Minkowski-Basis für Newton-Okounkov-Körper impliziert. Diese grundlegende Beobachtung motivierte eine Abweichung vom bisherigen Programm in Richtung einer stärkeren Berücksichtigung von Newton-Okounkov-Körpern. In der Folge gelang es David Schmitz gemeinsam mit P. Pokora und S. Urbinati, das beschriebene Resultat auf gewisse höherdimensionale Varietäten, genauer torische Varietäaten, zu verallgemeinern. Es zeigte sich insbesondere, dass die Angabe einer Minkowski Basis für Newton-Okounkov-Körper in diesem Fall äquivalent zur Beschreibung der Strahlen des sekundären Fächers und damit der Big-Kegel-Zerlegung in Morikammern ist. Gemäß der Leitfrage unseres Projekts nach der Variation gewisser Invarianten auf dem Big-Kegel, untersuchten wir daraufhin die Variation von Newton-Okounkov-Körpern, die bekanntermaßen eine numerische Invariante darstellen. Aufschluss über die Variation gibt der sogenannte globale Okounkovkörper, ein konvexer Kegel zusammen mit einer Projektion auf den Big-Kegel, deren Fasern gerade die Newton-Okounkov-Körper von big Klassen sind. Im Allgemeinen zeigt sich, dass Newton-Okounkov-Körper auf nicht-lineare Weise variieren. Tatsächlich gibt es Beispiele von Varietäten, deren globaler Okounkovkörper bezüglich gewisser Bewertungen nicht-polyedrisch ist. Andererseits konnten wir zeigen, dass die Existenz einer Minkowski-Basis einen rational polyedrischen globalen Okounkovkörper impliziert. Tatsächlich variieren in diesem Fall Okounkovkörper stückweise linear bezuglich der Minkowski-Summation, und die Orte mit linearer Variation sind konvexe Unterkegel von Eff(X). Ausgehend von diesen Ergebnissen untersuchten wir auch unabhängig vom Ansatz der Minkowski Zerlegung weitere Klassen von Varietäten auf Polyedrizitaät ihrer globalen Okounkovkörper und waren bisher im Fall von Bott-Samelson Varietäten erfolgreich. Ein überraschendes Ergebnis der Untersuchung der Variation von Zariski-Zerlegungen im Flächenfall war die kürzlich von uns bewiesene Aquivalenz der sogenannten Bounded Negativity Conjecture zur Existenz einer oberen Schranke für die in den Koeffizienten der Zariski-Zerlegung ganzzahliger Divisoren auftretenden Nennern.
Publications
- Minkowski decomposition of Okounkov bodies on surfaces. Journal of Algebra 414, 159-174 (2014)
Luszcz-Swidecka, P., Schmitz, D.
(See online at https://doi.org/10.1016/j.jalgebra.2014.05.024) - Minkowski decomposition and generators of the moving cone for toric varieties
Pokora, P., Schmitz, D., Urbinati, S.
- On the polyhedrality of global Okounkov bodies. Advances in Geometry, Band 16, Heft 1, S. 83–91, 2016
Schmitz, D., Seppänen, H.
(See online at https://doi.org/10.1515/advgeom-2015-0042) - On the boundedness of the denominators in the Zariski decomposition on surfaces. Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal), Band 2017, Heft 733, S. 251–259
Bauer, Th., Pokora, P. Schmitz, D.
(See online at https://doi.org/10.1515/crelle-2015-0058)
