Renewal theory and statistics of rare events in infinite ergodic theory
Final Report Abstract
Das Projekt widmet sich der zeitlichen Entwicklung von Observablen, die über einem maßtheoretischen dynamischen System definiert sind, mit dem Ziel, insbesondere extreme Ereignisse zu beschreiben. Schwerpunktmäßig werden dynamische Systeme betrachtet, die ein unendliches σ -endliches Maß invariant lassen. Diesem Teil des Projekts liegen Methoden der Erneuerungstheorie für Operatoren zugrunde, die Ideen der klassischen Erneuerungstheorie für Operatoren generalisieren und so Aussagen zur distributionalen Konvergenz ermöglichen. Dabei wird typischerweise zuerst das Konvergenzverhalten des Transferoperators des induzierten dynamischen Systems überprüft und dann auf die Konvergenzeigenschaften des Transferoperator des eigentlichen dynamischen Systems zurückgeschlossen. In diesem Rahmen wurden die Gültigkeitsbereiche distributionaler Konvergenzsätze untersucht. Ein Kernwerkzeug dieser Untersuchungen ist dabei der Transferoperator, der die Entwicklung von Wahrscheinlichkeitsdichten bezüglich eines dynamischen Systems vollständig beschreibt. Teilweise mussten die Gültigkeitsbereiche eingeschränkt werden, hierfür wurden Observablen mit gewissen Regularitätseigenschaften konstruiert, für die keine distributionale Konvergenz hin zu einem Gleichgewichtszustand gilt. Teilweise wurden aus der aktuellen Literatur bekannte Sätze auch erweitert. Speziell wird eine Familie von Markov- Intervall-Abbildungen betrachtet, die zwischen der Zeltabbildung und der Farey-Abbildung interpoliert. Neu sind auch distributionale Konvergenzsätze für Wahrscheinlichkeitsdichten mit Singularitäten. Es kann gezeigt werden, dass unter gewissen Voraussetzungen auch hierfür Grenzwertsätze gelten. Ein besonderes Augenmerk wird hierbei auf die Farey-Abbildung gelegt, da in diesem Fall ein Wechselspiel von chaotischer und regulärer Dynamik auftritt, das durch einen indifferenten Fixpunkt im Ursprung erzeugt wird - ein Phänomen das in der theoretischen Physik auch als Intermittenz bekannt ist. Es kann gezeigt werden, dass das Grenzwertverhalten entlang der ω-Limesmenge des Punktes, in dem die Dichte eine Singularität besitzt, von den diophantischen Eigenschaften dieses Punktes abhängt. Ein zweiter Teil des Projekts befasst sich mit fast sicheren Grenzwertsätzen für getrimmte Summen nichtnegativer Zufallsvariablen mit unendlicher Erwartung. Ein typisches Beispiel hierfür ist der Rückkehrzeitprozess für ein induziertes dynamisches System mit unendlichem invariantem Maß. Für die Fälle identisch verteilter und unabhängiger bzw. mischender Zufallsvariablen sowie für dynamisch definierte Birkhoff-Summen werden Voraussetzungen entwickelt, unter denen die richtige moderate Trimmung und Skalierung des Summenprozesses nichttriviale starke Gesetze implizieren. Darüber hinaus wurden in Analogie zum Borel-Bernstein-Theorem 0-1-Gesetze für den mischenden Prozess der Kettenbrucheingänge bzgl. des Lebesguemaßes entwickelt. Ein Zusammenhang zum Zentralen Grenzwertsatz für den Zählprozess großer Kettenbrucheingänge konnte ebenfalls etabliert werden. Ferner ist es im Rahmen dieses Projekts gelungen, einen gestörten Perron-Frobenius- Operatoren für offene dynamische Systeme zu nutzen, um höhere asymptotische Terme lokaler Fluchtraten für Strömungen unter einer Dachfunktion zu ermitteln, allerdings bisher nur Systeme mit einer Basistransformation mit einem endlichen invarianten Maß und einer Dachfunktion mit endlicher Erwartung. Schließlich wurden Extremwertgesetzte und multifraktale Eigenschaften für die wichtige Beispielklasse der geodätischen Flüsse auf hyperbolischen Mannigfaltigkeiten mit Spitzen untersucht. Es wurden multivariate Fréchet-Extremwertgesetze hergeleitet, die simultan die maximalen Exkursionen zu unterschiedlichen Spitzen beschreiben sowie das multifraktale Spektrum untersucht, welches die Exursionslängen in eine Spitze zur Windungszahl um diese Spitzen ins Verhältnis setzt.
Publications
- On the asymptotics of the α-Farey transfer operator. Nonlinearity 28(1):143–166, 2015
J. Kautzsch, M. Kesseböhmer, T. Samuel und B. O. Stratmann
(See online at https://doi.org/10.1088/0951-7715/28/1/143) - A Multifractal Analysis for Cuspidal Windings on Hyperbolic Surfaces. 2016
J. Jaerisch, M. Kesseböhmer, S. Munday
- Escape rates for special flows and their higher order asymptotics. 2016
F. Dreher, M. Kesseböhmer
- Limit theorems for counting large continued fraction digits
M. Kesseböhmer, T. Schindler
- On the convergence to equilibrium of unbounded observables under a family of intermittent interval maps. Annales Henri Poincaré (online first), 37 Seiten, 2016
J. Kautzsch, M. Kesseböhmer and T. Samuel
(See online at https://doi.org/10.1007/s00023-015-0451-8) - Strong laws of large numbers for intermediately trimmed sums of i.i.d. random variables with infinite mean. 2016
M. Kesseböhmer, T. Schindler
