Reeb-Dynamik und Holomorphe Kurven

• Applicants: Professor Dr. Hansjörg Geiges; Professor Dr. Kai Zehmisch
• Subject Area: Mathematics
• Term: from 2012 to 2017
• Project identifier: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Project number 225906543

• Final Report Year: 2017

Final Report Abstract

Zentrale Frage des Projektes war die Weinstein-Vermutung: Jedes Reeb-Vektorfeld auf einer geschlossenen Kontaktmannigfaltigkeit hat eine periodische Lösung. Im Rahmen dieses Projektes wurde diese Vermutung in zahlreichen Fällen bewiesen, jeweils unter geeigneten topologischen Annahmen an die zugrundeliegende Mannigfaltigkeit. Ein leicht zu formulierendes Beispiel sind Kontaktmannigfaltigkeiten, die sich als nichttriviale verbundene Summe von zwei Kontaktmannigfaltigkeiten schreiben lassen, d.h. Summen, bei denen keiner der Summanden eine Sphäre ist. In diesem Zusammenhang wurden eine Reihe von topologischen Ergebnissen erzielt, beispielsweise zu symplektischen Kobordismen zwischen symplektischen Sphärenbündeln und zu dynamischen Charakterisierungen des Balles. Die größte Überraschung des Projektes war die Entdeckung von Reeb-Fallen in Dimension größer als oder gleich 5. Hier handelt es sich um Reeb-Flüsse, bei denen eine Bahn von einer nicht-periodischen invarianten Menge eingefangen wird, ohne daß an anderer Stelle periodische Reeb-Bahnen erzeugt werden. Dieses Phänomen ist in Dimension 3 ausgeschlossen und war auch in höheren Dimensionen nicht erwartet worden.

Publications

• The diffeomorphism type of symplectic fillings, erscheint in J. Symplectic Geom.
  K. Barth, H. Geiges and K. Zehmisch
  
• Lagrangian non-squeezing and a geometric inequality, Math. Z. 277 (2014), 285–291
  K. Zehmisch
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00209-013-1254-6)
• Open books and the Weinstein conjecture, Q. J. Math. 65 (2014), 869–885
  M. Dörner, H. Geiges and K. Zehmisch
  (See online at https://doi.org/10.1093/qmath/hat055)
• The space of contact forms adapted to an open book, Dissertation, Universität zu Köln (2014)
  M. Dörner
  
• Trapped Reeb orbits do not imply periodic ones, Invent. Math. 198 (2014), 211–217
  H. Geiges, N. Röttgen and K. Zehmisch
  (See online at https://doi.org/10.1007/s00222-014-0500-9)
• On the existence of periodic orbits for magnetic systems on the two-sphere, J. Mod. Dyn. 9 (2015), 141–146
  G. Benedetti and K. Zehmisch
  (See online at https://doi.org/10.3934/jmd.2015.9.141)
• Homotopy type of fillings of unit stabilized cotangent bundles, Dissertation, WWU Münster (2016)
  K. Barth
  
• Reeb dynamics detects odd balls, Ann. Sc. Norm. Super. Pisa Cl. Sci. (5) 15 (2016), 663–681
  H. Geiges and K. Zehmisch
  (See online at https://doi.org/10.2422/2036-2145.201404_006)
• The Weinstein conjecture for connected sums, Int. Math. Res. Not. IMRN 2016, 325–342
  H. Geiges and K. Zehmisch
  (See online at https://doi.org/10.1093/imrn/rnv124)
• Polyfolds, cobordisms and the strong Weinstein conjecture, Adv. Math. 305 (2017), 1250–1267
  S. Suhr and K. Zehmisch
  (See online at https://doi.org/10.1016/j.aim.2016.06.030)