Modulräume von Garben und symplektische Varietäten

• Antragsteller: Dr. Markus Zowislok
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2013
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 223873773

Erstes Ziel des Forschungsvorhabens ist ein besseres Verständnis der Geometrie von Modulräumen halbstabiler Garben auf projektiven K3- oder abelschen Flächen sowie die Verbindung zur Geometrie von Modulräumen halbstabiler Garben auf projektiven Enriques- bzw. bielliptischen Flächen. Alle diese Flächen sind projektive komplexe Flächen der Kodaira-Dimension 0. Sie sind reelle 4-dimensionale Mannigfaltigkeiten und weisen eine sehr reiche Geometrie auf. Garben auf diesen Flächen sind z.B. Vektorbündel, und die genannten Modulräume sind klassifizierende Räume, die Repräsentanten einer wesentlichen Unterklasse von Garben enthalten. Im Fall von K3- und abelschen Flächen sind die Modulräume symplektisch, falls der ample Divisor generisch ist. Löst man symplektisch auf, falls notwendig, und nimmt man eine gewisse Faser im Fall der abelschen Fläche, so erhält man ein Beispiel einer projektiven Hyperkählermannigfaltigkeit. Alle bekannten Beispiele solcher Mannigfaltigkeiten sind deformationsäquivalent zu diesen Beispielen. Ich interessiere mich insbesondere für nichtgenerische Divisoren. Betrachtet man Enriques-Flächen, so ist die universelle Überlagerung eine K3-Fläche. Diese Relation übersetzt sich in eine interessante Relation zwischen den zugehörigen Modulräumen. Eine analoge Relation gibt es für abelsche und bielliptische Flächen. Ein wichtiger Spezialfall eines Modulraumes von Garben ist das Hilbertschema von Punkten. Ein solches Hilbertschema löst Singularitäten von symmetrischen Produkten von Flächen auf. Betrachtet man gewisse spezielle Garben, die äquivariant bezüglich einer reduktiven Gruppe sind, sogenannte Konstellationen, so ist deren Modulraum ein guter Kandidat für eine Auflösung der Singularitäten des geometrisch-invariantentheoretischen Gruppenquotienten. Das zweite Ziel ist die Untersuchung seiner Eigenschaften und seines Potentials.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Großbritannien
• Gastgeber: Professor Dr. Richard Thomas