Abgeschlossene Verflechtungsoperatoren lokal algebraischer Hauptreihendarstellungen

• Antragsteller: Dr. Enno Nagel
• Fachliche Zuordnung: Mathematik
• Förderung: Förderung von 2012 bis 2015
• Projektkennung: Deutsche Forschungsgemeinschaft (DFG) - Projektnummer 221604069

Die Zahlentheorie studiert die Lösungen von Polynomen über dem Körper der rationalen Zahlen Q; die p-adische Zahlentheorie dagegen studiert die Lösungen von Polynomen über den topologischen Vervollständigungen von Q:Neben dem üblichen Betrag gibt es auf Q für jede Primzahl p den p-adischen Betrag, der misst wie oft p eine ganze Zahl teilt. Vervollständigen wir Q mittels dieses Betrags, so erhalten wir den Körper der p-adischen Zahlen Q_p. Für ein rationales Polynom liefern analytische Argumente Nullstellen in Q_p außerhalb Qs; die Vervollständigung hat Q_p arithmetisch vereinfacht. Ist die Frage nach der Lösbarkeit über jedem Q_p gelöst, so auch in vielerlei Hinsicht über Q (Hasse Prinzip).Die Galois Theorie studiert diese Frage indem sie die Automorphismen der Körpererweiterungen über Q_p betrachtet. Die absolute Galois Gruppe von Q_p besteht aus allen Q_p-Algebra Automorphismen des algebraischen Abschlusses von Q_p. In ihr finden sich alle arithmetischen Informationen über Q_p.Wir studieren sie, indem wir uns ihre Operationen auf endlich dimensionalen Vektorräumen anschauen. Hier schlägt das p-adische Langlandsprogramm eine Brücke zwischen der arithmetischen Galois Gruppe und der greifbareren linearen Gruppe G=GL_n(Q_p); es stellt stetige Galois-Operationen auf n-dimensionalen Vektorräumen gleichmäßig stetigen G-Operationen auf Banachräumen gegenüber.Meine Forschung dreht sich um die Konstruktion eines solchen Banachraums B. Es gibt auf B eine gleichmäßig stetige G-Operation genau dann, wenn es auf B eine G-invariante Norm || gibt. Dies ist weitestgehend ein offenes Problem. Den Fall GL_2(Q_p) haben Colmez u.a. gelöst, indem sie B, für eine reelle Zahl R>=0, durch R-fach ableitbare (oder C^R-)Funktionen auf dem Einheitsball Q_ps beschrieben haben.Für allgemeinere Fälle führte meine Dissertation eine C^R-Theorie über p-adischen Mannigfaltigkeiten ein. Diese wird nun eingehender untersucht. So errechnet der neueste Preprint die Fourierkoeffizienten der C^R-Funktionen auf dem Einheitsball einer endlichen Erweiterung F von Q_p. Dies dient einer Verallgemeinerung der Beweisstrategie Colmez´ auf GL_2(F).Ist die G-Operation auf B lokal durch rationale Funktionen gegeben, so erlaubt die C^R-Theorie uns || als, a priori, Halbnorm auf C^R-Funktionen mehrerer Variablen in G aufzufassen. Dies Resultat ist im Manuskript meines Vortrags im Séminaire Automorphe skizziert.Zum einen überarbeite ich die C^R-Theorie auf eine praktikable Beschreibung mittels Taylorpolynomen hin und vergleiche sie mit anderen neuen Ansätzen zur p-adischen Differenzialrechnung.Zum anderen müssen, damit || eine Norm ist, bestimmte Operatoren auf diesen C^R-Funktionen, zwar keineswegs stetig, aber doch abgeschlossen sein. Ein abgeschlossener Operator ist in der klassischen Funktionalanalysis ein vertrauter Begriff, im p-adischen jedoch unbekannt. Dies Problem gehe ich nun in Spezialfällen unter Mithilfe Pierre Colmez´ und Ariane Mezards an.

• DFG-Verfahren: Forschungsstipendien
• Internationaler Bezug: Frankreich
• Gastgeber: Professor Dr. Jean-Francois Dat