Elliptic partial differential equations in hyperkähler geometry and gauge theory: Moduli spaces of solutions and geometric invariants.
Final Report Abstract
Im Förderungszeitraum wurden Forschungsarbeiten zur Analysis und Differentialgeometrie mehrerer verwandter Modulräumen von Lösungen nichtlinearer elliptischer partieller Differentialgleichungen auf kompakten Flächen durchgeführt. Im Fokus des gemeinsamen mit Rémi .Janner bearbeiteten Teilprojekts stand die Einführung und Untersuchung neuartiger eichtheoretischer Invarianten, die vermittels des Modulraumes von Lösungen eines Differentialgleichungssystems erster Ordnung auf der zugrundeliegenden Fläche definiert wurden. Zentrale Fragen der Analysis dieser Gleichungen, etwa nach der Kompaktheit der Lösungen, konnten geklärt werden. Ferner wurde der Zusammenhang mit den Modulräumen von Lösungen des klassischen parabolischen Yang-Mills-Gradientenflusses untersucht. Bei weiteren Teilprojekten, die in Zusammenarbeit mit Rafe Mazzeo sowie Hartmut Weiß und Frederik Witt bearbeitet wurden, stand das Degenerationsverhalten zweier prominenter Modulräume der Geometrie im Zentrum der Betrachtungen. Zum einen wurde der Modulraum von kompakten Riemannschen Flächen zusammen mit der Weil-Petersson-Metrik untersucht. Dabei konnte mittels Methoden der globalen Analysis (Parametrixkonstruktionen für elliptische Differentialoperatoren) eine vollständige asymptotische Entwicklung der Weil-Petersson-Metrik in der Nähe des Randes der Deligne-Mumford-Kompaktifizierung des Modulraumes angegeben werden. Damit wurde die Grundlage gelegt, um in einem Folgeprojekt den Wärmeleitungskern sowie spektrale Eigenschaften des Hodge-Laplace-Opertors auf dem Modulraum studieren zu können. Fragen der asymptotischen Geometrie des Modulraumes der Higgsbündel vom Rang 2 wurden in einem dritten Teilprojekt bearbeitet. Hierbei wurde erstmals das Degenerationsverhalten von Lösungen der den Modulraum definierenden Selbstdualitätsgleichungen im Limes großer Higgsfelder quantitativ erfaßt. Dabei kamen Methoden der singulären Analysis zum Tragen. Die hierbei gewonnenen Erkenntnisse sollen in einem weiterführenden Projekt dazu verwendet werden, um differentialgeometrische Eigenschaften der Enden des Modulraumes besser zu verstehen und so zur Lösung noch weitgehend offener Fragen über L2-Bettizahlen des Modulraumes beizutragen.
Publications
- Elliptic Yang-Mills floiu theory, 2013. MPI-Preprint 2013-59
R. Janner, J. Swoboda
