Derivatbewertung durch partielle Integro-Differentialgleichungen (PIDEs)
Zusammenfassung der Projektergebnisse
Feynman-Kac-Formeln stellen einen fundamentalen Zusammenhang zwischen bedingten Erwartungswerten und partiellen Integro-Differentialgleichungen her. Im Kontext der Optionspreisbewertung führt diese Verbindung für eine große Klasse von (zeitinhomogenen) Lévy-Modellen zu numerischen Verfahren zur Berechnung der Preise durch Lösen linearer parabolischer Integro-Differentialgleichungen, kurz PIDEs für die englische Bezeichnung "Partial Integro Differential Equation". Wir betrachten die Charakterisierung von Optionspreisen als Lösungen der entsprechenden Gleichungen aus zwei Perspektiven. Im Hinblick auf effziente numerische Lösbarkeit der resultierenden Gleichungen konzentrieren wir uns auf deren Formulierung als parabolische Evolutionsgleichungen über Sobolev-Slobodeckii-Räumen. Um andererseits – ausgehend von Lévy-Modellen – einen adäquaten Zugang zu den Gleichungen zu gewinnen, fassen wir sie als Pseudo-Differentialgleichungen auf. Dies führt zu einer Klassifikation der Lévy-Prozesse anhand ihrer Fouriertransformierten. In den letzten Jahren wurden effziente numerische Verfahren, sogenannte Waveleto Galerkin-Methoden zur Optionspreisberechnung entwickelt, bei denen Lösungen von PIDEs berechnet werden. Um zu zeigen, dass diese Lösungen mit den Optionspreisen übereinstimmen, leiten wir eine Feynman-Kac-Darstellung für schwache Lösungen von linearen parabolischen Gleichungen in Sobolev-Slobodeckii-Räumen her. Um das Ergebnis unmittelbar zur Bewertung von Europäischen Optionen verwenden zu können, arbeiten wir mit exponentiell gewichteten Sobolev-Slobodeckii-Räumen. Zur Charakterisierung von Preisen von Barriere-Optionen als Lösungen von parabolischen Randwertproblemen verwenden wir eine Methode, die als "Pénalisation du domaine" bekannt ist. Die Resultate wenden wir zur Optionsbewertung in exponentiellen (zeitinhomogenen) Lévy-Modellen an. Es werden explizite Formeln für faire Preise von europäischen, Barriere- und Lookback-Optionen hergeleitet und im CGMY-Modell numerisch mit Hilfe von Wavelet-Galerkin-Verfahren berechnet.
Projektbezogene Publikationen (Auswahl)
- Analysis of Fourier transform valuation formulas and applications. Applied Mathematical Finance (2010) 1–30
Ernst Eberlein, Kathrin Glau, Antonis Papapantoleon
- Feynman-Kac-Darstellungen zur Optionspreisbewertung in Lévy-Modellen. Dissertation Universität Freiburg (2010)
Kathrin Glau
